Sempre loro...

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Sempre loro...

Messaggio da what » 30 dic 2005, 17:57

Sia $ P $ un punto interno ad un triangolo $ ABC $ e siano $ x,y,z $ le distanze di $ P $ dai tre lati $ a,b,c $. Sia inoltre $ R $ il raggio della circonferenza circoscritta ad ABC. Dimostrare che
$ \displaystyle \sqrt x +\sqrt y + \sqrt z \leq \sqrt{\frac {a^2+b^2+c^2}{2R}} $
Quando si ha l'uguaglianza?

Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 11 gen 2006, 22:34

e che ci vuoi usare qua se non Cauchy Schwarz??

Allora partiamo da:

$ \displaystyle (xa+yb+zc)(\frac 1a +\frac 1b +\frac 1c) \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 $
$ \displaystyle 2A(ab+bc+ca)\frac 1{abc} \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 $
$ \displaystyle 2\frac{abc}{4Rabc}(ab+bc+ca) \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 $

$ \displaystyle \sqrt{\frac {ab+bc+ca}{2R}}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} $

Quest'ultima è più stretta di quella del testo (infatti $ a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca $ famosa disuguaglianza).
Nel mio si ha uguaglianza quando il punto P ha coordinate trilineari $ P(a^{-2},b^{-2},c^{-2}) $

Nel caso tuo uguaglianza quando $ a=b=c $ e quindi P e' il baricentro.

Have fun with CS!

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 11 gen 2006, 23:18

Simo, penso che mi farò offrire qualcosa la prima volta che passi a Pisa ... trovare chi diamine è quel punto P con quelle orride coordinate trilineari non è per nulla facile ... allora, mio scopo è ora dare una natura più umana al punto P fantasticato da Simo_the_wolf.

Ricordo che le coordinate trilineari di un punto P in un triangolo ABC sono una terna di numeri $ \alpha:\beta:\gamma $ tali che $ \displaystyle{\frac{\alpha}{d(P,BC)}=\frac{\beta}{d(P,CA)}=\frac{\gamma}{d(P,AB)}} $.

Dunque ... ora, costruiamo P. Consideriamo l'incentro I del triangolo ABC e siano D,E,F le intersezioni di AI e BC, BI e AC, CI e AB; siano ora G,H,K i simmetrici di D,E,F rispetto ai punti medi dei lati su cui giacciono. E' una banale applicazione del teorema di Ceva che AG, BH, CK concorrono in un punto. Tale punto è il nostro P.

(se al posto dell'incentro avessimo preso un qualunque punto Q, le tre linee si sarebbero comunque incontrate in un punto Q', detto coniugato isotomico di Q)

P è proprio tale punto perchè, se $ \alpha:\beta:\gamma $ sono le coordinate di un punto Q, allora $ (a^2\alpha)^{-1}:(b^2\beta)^{-1}:(c^2\gamma)^{-1} $ sono le coordinate del suo coniugato isotomico ... del resto l'incentro ha coordinate trilineari (1:1:1) e dunque il gioco è fatto.

Per la dimostrazione di quest'ultima affermazione ... beh ci vogliono due ideuzze ed ora non è il caso, nè qui è il luogo.

Ultima osservazione, se a=b=c, si ha che il coniugato isotomico dell'incentro è ancora l'incentro, ma l'unico punto fisso del coniugio isotomico è il baricentro, quindi l'incentro è il baricentro e dunque anche P lo è.

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Messaggio da what » 16 gen 2006, 15:37

:D perfetta la soluzione di simone

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