rapporto collaterale

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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sprmnt21
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rapporto collaterale

Messaggio da sprmnt21 » 28 dic 2005, 16:13

Dato un traingolo ABC Sia RS, con R su AB ed S su AC, una corda di ABC ortogonale alla bisettrice di <A. Se M e' il punto medio di BC, determinare in funzione dei lati del traingolo il rapporto RT/ST.

PS
Per quanto ne so, il problema e' "originale".

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 28 dic 2005, 17:43

Ehm, chi è T ?
Oppure è RM/MS ?

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 29 dic 2005, 08:31

EvaristeG ha scritto:Ehm, chi è T ?
Oppure è RM/MS ?
caspita la fretta quante ne fa.

T e' l'intersezione tra AM ed RS.

Scusate!

Leandro
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Messaggio da Leandro » 29 dic 2005, 13:15

Immagine
E' facile vedere che il richiesto rapporto non muta al variare di R
su AB (del resto cio' e' implicito nel quesito) e quindi scelgo R coincidente con B (vedi figura)
Ponendo per semplicita' $ BAC=2\alpha $ ed LAM=x,dal triangolo
BAM si ha:
$ \diaplaystyle \frac{BM}{AM}=\frac{sin(\alpha+x)}{sin \beta}->sin(\alpha+x)=\frac{BM}{AM}sin \beta $
Analogamente dal triangolo AMC si ricava:
$ \diaplaystyle \frac{CM}{AM}=\frac{sin(\alpha-x)}{sin \gamma}->sin(\alpha-x)=\frac{CM}{AM}sin \gamma $
Quindi:
$ \displaystyle \frac{sin(\alpha+x)}{sin(\alpha-x)}=\frac{sin\beta}{sin\gamma}=\frac{b}{c} $
Ora dal triangolo ABT si ha:
$ \displaystyle \frac{BT}{AT}=\frac{sin(\alpha+x)}{cos\alpha} $
e da ATS:
$ \displaystyle \frac{TS}{AT}=\frac{sin(\alpha-x)}{cos\alpha} $
E da qui :
$ \displaystyle \frac{BT}{TS}=\frac{sin(\alpha+x)}{sin(\alpha-x)}=\frac{sin\beta}{sin\gamma}=\frac{b}{c} $
Dato l'elevato numero di rappori da considerare e' possibile che si possa ottenere
il risultato con qualche similitudine (o Ceva?).
Ciao e BUON ANNO A TUTTI
Leandro

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frengo
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Messaggio da frengo » 29 dic 2005, 22:36

Eeccovi subito serviti:
Anche per me è molto comodo porre $ R\equiv{B} $(se AB è il lato più corto; in caso vanno invertite un pò di lettere), nella dimostrazione mi appoggio alla figura di Leandro.
Consideriamo il triangolo $ BCS $ e la retta $ ATM $:applichiamo il Teorema di Menelao, che dice che:

$ \displaystyle \frac{BT}{TS}\frac{SA}{AC}\frac{CM}{MB}=1 $

Ora, visto che $ BS $ è perpendicolare alla bisettrice i triangoli $ ABN $ e $ ANS $ sono uguali, $ SA=AB $. Dato che $ BM=MC $, la relazione diventa

$ \displaystyle \frac{BT}{TS}\frac{AB}{AC}=1 $

$ \displaystyle \frac{BT}{TS}=\frac{AC}{AB} $

generalizzando ad un qualunque R,
$ \displaystyle \frac{RT}{TS}=\frac{AC}{AB} $

ciao ciao
buone feste
Ultima modifica di frengo il 30 dic 2005, 10:02, modificato 2 volte in totale.

Leandro
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Messaggio da Leandro » 30 dic 2005, 08:06

Veramente una bella soluzione quella di Frengo.
Anch'io avevo pensato ad una cosa del genere,senza
insistervi piu' di tanto (faccio sempre un sacco e mezzo di
confusione tra Ceva e Menelao!)
Leandro.

gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 01 gen 2006, 21:11

Ecco un’altra risposta. Le lettere sono usate come abituale in trigonometria.
Come giustamente notato, la posizione di RS non ha importanza: lo scelgo passante per M, con cui quindi T coincide. I calcoli successivi si riferiscono ad una figura in cui $ \beta>\gamma $ (e quindi R cade sul prolungamento di AB) ma si verifica facilmente che il risultato è comunque vero. Nel triangolo ARS bisettrice e altezza coincidono; di conseguenza il triangolo è isoscele e si ha $ \angle ARS=\angle ASR=\delta $ (inutile calcolarlo). Per il teorema dei seni applicato al triangolo BMR ho BM : sin$ \delta $= RM : sin $ (\pi - \beta $), da cui RM=BM $ \frac{sin \beta}{sin \delta}. $ Dallo stesso teorema applicato a MCS ricavo MS=MC $ \frac{sin \gamma}{sin \delta}. $ Dividendo membro a membro e ricordando che BM=MC, si ottiene
$ \frac{RT}{RS}=\frac{RM}{MS}=\frac{sin\beta}{sin\gamma}=\frac bc $

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 02 gen 2006, 12:33

davvero encomiabile la soluzione di Frengo.

Io avevo pensato a questo:

Detto K il punto della bisettrice di <A su BC, siano M', C' ed U i punti in cui la parallela per S a Cb taglia rispettivamente AM, AK ed AB. Sia L il punto comune ad RS ed AK. essendo RL=LT ed UM'=M'S la retta LM' e' parallela ad AR e biseca AS. Pertanto TC' e' parallela ad AS. Sia B' l'intersezione tra US e la parallela ad AB per T. Per la similitudine tra TB'C' e ABC si ha che B'M'=M'C'. Quindi RT/TS = UB'/B'S = SC'/C'U = CK/KB.

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