Si prenda un generico triangolo $ ABC $. Ora si prendano su $ AB,BC,CA $ i punti $ M,N,K $. I triangoli $ BMN,CNK,AMK $ hanno gli inraggi lunghi la metà dell'inraggio di $ ABC $. Provare che $ M,N,K $ sono i punti medi.
Incerchi di qua, incerchi di là
Incerchi di qua, incerchi di là
Il problema è di Simo_the_Wolf, l'ho trovato non facilissimo e alla fine ho dovuto scannonare un pochino, a voi la Palla
Si prenda un generico triangolo $ ABC $. Ora si prendano su $ AB,BC,CA $ i punti $ M,N,K $. I triangoli $ BMN,CNK,AMK $ hanno gli inraggi lunghi la metà dell'inraggio di $ ABC $. Provare che $ M,N,K $ sono i punti medi.
Si prenda un generico triangolo $ ABC $. Ora si prendano su $ AB,BC,CA $ i punti $ M,N,K $. I triangoli $ BMN,CNK,AMK $ hanno gli inraggi lunghi la metà dell'inraggio di $ ABC $. Provare che $ M,N,K $ sono i punti medi.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Pensiamola così
Sia Gamma(A) la trasformata della circonferenza inscritta ad ABC secondo
una dilatazione di centro A e rapporto 1/2, analogamente si prendano
Gamma(B) e Gamma(C). Preso un punto P(0) su BC, sia P(1) l'intersezione
tra la tangente a Gamma(C) per P(0) (diversa da BC) e il lato AC.
Sia poi P(2) l'intersezione tra la tangente a Gamma(A) per P(1) diversa
da AC e il lato AB, similmente si P(3).
Quello che il teorema afferma è che esiste un solo punto di BC per cui P(0)=P(3).
Passando al proiettivo duale la nostra costruzione assume i seguenti connotati:
ci sono tre coniche Delta(A), Delta(B), Delta(C) in posizione generale e dei punti
Q(A) appartenente all'intersezione tra Delta(B) e Delta(C)
Q(B) appartenente all'intersezione tra Delta(A) e Delta(C)
Q(C) appartenente all'intersezione tra Delta(A) e Delta(B)
Preso un punto P(0) su Delta(A) lo si manda in P(1) appartenente all'intersezione
tra L(P(0),Q(A)) e Delta(B), poi in P(2) appartenente all'intersezione tra
L(P(1),Q(B)) e Delta(C) and so on.
Verificare che la mappa P(0)->P(3) è un endomorfismo proiettivo di Delta(A)
con al più un punto fisso dimostra la tesi, ma ora non ho proprio voglia di
fare conti, per cui li lascio ai volenterosi.
una dilatazione di centro A e rapporto 1/2, analogamente si prendano
Gamma(B) e Gamma(C). Preso un punto P(0) su BC, sia P(1) l'intersezione
tra la tangente a Gamma(C) per P(0) (diversa da BC) e il lato AC.
Sia poi P(2) l'intersezione tra la tangente a Gamma(A) per P(1) diversa
da AC e il lato AB, similmente si P(3).
Quello che il teorema afferma è che esiste un solo punto di BC per cui P(0)=P(3).
Passando al proiettivo duale la nostra costruzione assume i seguenti connotati:
ci sono tre coniche Delta(A), Delta(B), Delta(C) in posizione generale e dei punti
Q(A) appartenente all'intersezione tra Delta(B) e Delta(C)
Q(B) appartenente all'intersezione tra Delta(A) e Delta(C)
Q(C) appartenente all'intersezione tra Delta(A) e Delta(B)
Preso un punto P(0) su Delta(A) lo si manda in P(1) appartenente all'intersezione
tra L(P(0),Q(A)) e Delta(B), poi in P(2) appartenente all'intersezione tra
L(P(1),Q(B)) e Delta(C) and so on.
Verificare che la mappa P(0)->P(3) è un endomorfismo proiettivo di Delta(A)
con al più un punto fisso dimostra la tesi, ma ora non ho proprio voglia di
fare conti, per cui li lascio ai volenterosi.
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
In quanto a parlata non ci vedo niente di male ... certo non è la soluzione che tutti noi vorremmo, quella che usa le proiettività (endomorfismo proiettivo te la potevi pure risparmiare, elianto).
Cmq, che la trasformazione sia una proiettività lo si vede facilmente dal fatto che è definita tramite intersezioni di coniche e rette ... che abbia al più un punto fisso ... beh, bisogna scriverla.
Cmq, che la trasformazione sia una proiettività lo si vede facilmente dal fatto che è definita tramite intersezioni di coniche e rette ... che abbia al più un punto fisso ... beh, bisogna scriverla.