Dopo tanto parlare di orologi,vi presento il mio orologio matto.
Mi fu donato dal Bianconiglio e segna sempre che sei in ritardo.
E' composto da una lancetta rotante con velocità V;su questa é montata una seconda lancetta di uguale lunghezza e rotante ad uguale velocità,e sulla seconda una terza uguale alle prime due e recante all'estermità una puntina.Questa percorre sull'orologio un tragitto ben preciso:quale?Esso é fisso o varia seconda della velocità iniziale?Se aggiungo una quarta,una quinta lancetta,cosa succede?
Ed infine:tendendo il numero di lancette ad infinito,ma mantenendo costante la somma delle loro lunghezze(ciò significa che la lunghezza di ogni lancetta tende a zero),il percorso tende a qualcosa in particolare?
Salumi!
L'orologio matto
L'orologio matto
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Prendiamo una lancetta di lunghezza r e mettiamola nell'origine. Dopo un tempo t subirà una rotazione di $ e^{ivt} $; se questa stava alla fine di un'altra lancetta, dovremo traslare l'origine, sommando r e girare tutto ancora della stessa rotazione, ottenendo $ r(e^{2ivt}+e^{ivt}) $. Quindi in generale, con n lancette avremo che all'istante t la puntina si trova nel punto
$ r\left(\sum_{k=1}^ne^{kivt}\right) $, ovvero, prendendo parte reale e immaginaria, nel punto a coordinate
$ \left(r\frac{\cos(vtn/2)}{\sin(vt/2)}\sin((n+1)vt/2), r\frac{\sin(vtn/2)}{\sin(vt/2)}\sin((n+1)vt/2)\right) $
Questa cosa assomiglia grosso modo a una cardioide, ma ha n-1 asole attaccate nell'origine, simmetriche rispetto all'asse x ...
Non mi è riuscito di trovare l'eq implicita f(x,y)=0, anche perchè il suo grado come polinomio cresce con n (plausibilmente è 2n-2).
In breve, basterebbe scrivere i seni e i coseni di n volte qualcosa come seni e coseni di qualcosa (formule di n-uplicazione, polinomi di grado n) sostituire a seno e coseno le espressioni in termini di tangente dell'angolo mezzi, risolvere in tan(vt/2) l'espressione per x e sostituire in quella per y.
O magari c'è un metodo più furbo che non mi viene in mente ...
Cmq, il limite per il numero di lancette che tende a infinito non ha molto senso, almeno in base a queste formule ... in quanto sin(nx) prende più o meno tutti i valori possibili tra -1 e 1 al variare di n, a meno che x o un suo multiplo non annullino il seno, più o meno con la stessa frequenza, quindi il limite per n a infinito non esiste.
$ r\left(\sum_{k=1}^ne^{kivt}\right) $, ovvero, prendendo parte reale e immaginaria, nel punto a coordinate
$ \left(r\frac{\cos(vtn/2)}{\sin(vt/2)}\sin((n+1)vt/2), r\frac{\sin(vtn/2)}{\sin(vt/2)}\sin((n+1)vt/2)\right) $
Questa cosa assomiglia grosso modo a una cardioide, ma ha n-1 asole attaccate nell'origine, simmetriche rispetto all'asse x ...
Non mi è riuscito di trovare l'eq implicita f(x,y)=0, anche perchè il suo grado come polinomio cresce con n (plausibilmente è 2n-2).
In breve, basterebbe scrivere i seni e i coseni di n volte qualcosa come seni e coseni di qualcosa (formule di n-uplicazione, polinomi di grado n) sostituire a seno e coseno le espressioni in termini di tangente dell'angolo mezzi, risolvere in tan(vt/2) l'espressione per x e sostituire in quella per y.
O magari c'è un metodo più furbo che non mi viene in mente ...
Cmq, il limite per il numero di lancette che tende a infinito non ha molto senso, almeno in base a queste formule ... in quanto sin(nx) prende più o meno tutti i valori possibili tra -1 e 1 al variare di n, a meno che x o un suo multiplo non annullino il seno, più o meno con la stessa frequenza, quindi il limite per n a infinito non esiste.
Uh, rettifico : la forma implicita si trova, ma si trova facilmente in coordinate polari, non cartesiane.
Osserviamo che $ y/x=\tan(vtn/2) $, ma $ y/x=\tan\theta $ nelle coord polari $ \rho,\theta $. Inoltre
$ \rho^2=x^2+y^2=\frac{\sin^2(vt(n+1)/2)}{\sin^2(vt/2)} $.
Quindi
$ \rho=\frac{\sin(\theta\frac{n+1}{n})}{\sin(\theta\frac{1}{n})} $
è l'equazione implicita del luogo in coord polari.
Come già nella forma parametrica, anche in forma implicita il passaggio al limite non porta a nulla, in quanto il seno a denominatore ha argomento nullo, al limite.
Osserviamo che $ y/x=\tan(vtn/2) $, ma $ y/x=\tan\theta $ nelle coord polari $ \rho,\theta $. Inoltre
$ \rho^2=x^2+y^2=\frac{\sin^2(vt(n+1)/2)}{\sin^2(vt/2)} $.
Quindi
$ \rho=\frac{\sin(\theta\frac{n+1}{n})}{\sin(\theta\frac{1}{n})} $
è l'equazione implicita del luogo in coord polari.
Come già nella forma parametrica, anche in forma implicita il passaggio al limite non porta a nulla, in quanto il seno a denominatore ha argomento nullo, al limite.
$ (\theta\frac{n+1}{n}) $
Sarebbe il prodotto di thta e di (N+1)/n?
In ogni caso credo che tu abbia ragione:non tende a un bel niente.
Consiglio a tutti di provare a disegnare l'orologio con Cabri o altro,le traiettorie sono davvero affascinanti.Se poi siete interessati(si direbbe di no),cercate con Google i termini "Frank Farris","Wheels on wheels" e "Mathematics Magazine",davero interessanti(con un po' di fortuna troverete un programma on line che genera automaticamente le traiettorie).Le rodonee e le concoidi di rodonea descrivono piuttosto bene le traiettorie finché ci sono tre lancette,ma la quantità di figure possibili strabilia.
Devo scappare,ciao a tutti.
Sarebbe il prodotto di thta e di (N+1)/n?
In ogni caso credo che tu abbia ragione:non tende a un bel niente.
Consiglio a tutti di provare a disegnare l'orologio con Cabri o altro,le traiettorie sono davvero affascinanti.Se poi siete interessati(si direbbe di no),cercate con Google i termini "Frank Farris","Wheels on wheels" e "Mathematics Magazine",davero interessanti(con un po' di fortuna troverete un programma on line che genera automaticamente le traiettorie).Le rodonee e le concoidi di rodonea descrivono piuttosto bene le traiettorie finché ci sono tre lancette,ma la quantità di figure possibili strabilia.
Devo scappare,ciao a tutti.
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös