2 - Banalità Triangolari
Inviato: 22 ott 2005, 16:48
Bene, come già fatto per gli angoli, posto un po' di problemi sulle proprietà elementari dei triangoli di cui si è parlato nel glossario, sotto il nome di Banalità triangolari.
ATTENZIONE : vorrei fare un esperimento. Visto che mi interessa sapere a che livello di difficoltà corrispondono questi problemi, mi piacerebbe fare la seguente cosa : qui ci saranno 15 problemi, che io ritengo di media difficoltà (oscillanti tra un febbraio difficile e un preimo facile facile); voglio sapere cosa ne pensate anche voi, quindi propongo a ognuno di voi di non postare soluzioni qui per 7 giorni da oggi, di modo che tutti abbiano tempo di guardare e riflettere su questi problemi.
Tra 7 giorni, sarebbe bello che tutti quelli che hanno fatto anche solo qualcosa postassero (pure brevemente) le loro soluzioni e le loro difficoltà, in modo che io possa capire quali erano i problemi difficili e quali ostacoli ci si poteva trovare.
Spero di avere un minimo di collaborazione.
1. Sia ABC un triangolo di circocentro O, siano M, N i punti medi di AB e BC. Sapendo che AC=26, OM=5, ON=12, calcolare l'area e il perimetro di ABC.
2. Scrivere tutte le terne di interi (a,b,c) che possonon essere i lati di un triangolo rettangolo.
3. Sia ABC un triangolo rettangolo in C. Sia CXPY un quadrato con P su AB, X su BC e Y su AC. Dimostrare che
$ \displaystyle{\frac{1}{CX}=\frac{1}{CB}+\frac{1}{CA}} $
4. Siano A,B,C,D 4 punti sui lati di un quadrato di lato 1, almeno un punto per lato. Si dimostri che
$ 2\leq AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\leq 4 $
5. Sia P un punto sulla circonferenza circoscritta al quadrato ABCD, sull'arco CD che non contiene altri vertici. Dimostrare che $ PA^2-PB^2=PB\cdot PD - PA\cdot PC $.
6. In un triangolo ABC, sia AD un'altezza, BE una bisettrice, CF una mediana. Dimostrare che queste tre rette concorrono se e solo se $ a^2(a-c)=(b^2-c^2)(a+c) $.
7. Sia ABCD un quadrilatero ciclico con raggio circoscritto R, lati a,b,c,d e area S. Dimostrare che
(i) $ 16R^2S^2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) $
(ii) $ RS\sqrt{2}\geq (abcd)^{3/4} $
e discutere il caso di uguaglianza in (ii).
8. Siano D,E,F i punti in cui il cerchio inscritto tocca i lati BC, CA, AB di ABC (rispettivamente). Si supponga $ AF\leq BD\leq CE $ e che valga
$ \displaystyle{\frac{2}{AF}+\frac{5}{BD}+\frac{5}{CE}=\frac{6}{r} $
Si dimostri che ABC è isoscele e se ne calcolino i lati nel caso in cui r=4.
9. Si dimostri che in un generico triangolo vale
$ \frac{3\sqrt{3}}{2}\geq \sin3\alpha+\sin3\beta+\sin3\gamma\geq -2 $
e si discutano i casi di uguaglianza.
10. Sia ABC un triangolo di incentro I; si dimostri che i circocentri di IAB, IAC, IBC individuano una circonferenza di centro nel circocentro di ABC.
11. Sia ABC un triangolo e siano D,E,F tre punti sugli assi di BC, CA, AB. Dimostrare che le perpendicolari da A a EF, da B a DF e da C a DE concorrono.
12. Il cerchio inscritto ad PBC tocca BC in U e PC in V. Il punto S su BC è tale che BS=CU. PS incontra il cerchio inscritto in 2 punti, sia Q il più vicino a P. Sia W su PC tale che PW=VC e sia R l'intersezione di BW e PS. Dimostrare che PQ=RS.
13. Trovare una condizione necessaria e sufficiente sui lati di un triangolo di modo che 2 mediane siano perpendicolari.
14. Sia ABC un triangolo, AD un'altezza e P un punto su di essa; sia E l'intersezione di BP e CA, F l'intersezione di CP e AB. Dimostrare che AD biseca $ \measuredangle EDF $.
15. Date 4 rette p,q,r,s di cui non due parallele e non tre concorrenti, se s è parallela alla retta di eulero del triangolo formato da p,q,r, dimostrare che ogni retta è parallela alla retta di eulero del triangolo formato dalle altre tre.
Buon Lavoro.
ATTENZIONE : vorrei fare un esperimento. Visto che mi interessa sapere a che livello di difficoltà corrispondono questi problemi, mi piacerebbe fare la seguente cosa : qui ci saranno 15 problemi, che io ritengo di media difficoltà (oscillanti tra un febbraio difficile e un preimo facile facile); voglio sapere cosa ne pensate anche voi, quindi propongo a ognuno di voi di non postare soluzioni qui per 7 giorni da oggi, di modo che tutti abbiano tempo di guardare e riflettere su questi problemi.
Tra 7 giorni, sarebbe bello che tutti quelli che hanno fatto anche solo qualcosa postassero (pure brevemente) le loro soluzioni e le loro difficoltà, in modo che io possa capire quali erano i problemi difficili e quali ostacoli ci si poteva trovare.
Spero di avere un minimo di collaborazione.
1. Sia ABC un triangolo di circocentro O, siano M, N i punti medi di AB e BC. Sapendo che AC=26, OM=5, ON=12, calcolare l'area e il perimetro di ABC.
2. Scrivere tutte le terne di interi (a,b,c) che possonon essere i lati di un triangolo rettangolo.
3. Sia ABC un triangolo rettangolo in C. Sia CXPY un quadrato con P su AB, X su BC e Y su AC. Dimostrare che
$ \displaystyle{\frac{1}{CX}=\frac{1}{CB}+\frac{1}{CA}} $
4. Siano A,B,C,D 4 punti sui lati di un quadrato di lato 1, almeno un punto per lato. Si dimostri che
$ 2\leq AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\leq 4 $
5. Sia P un punto sulla circonferenza circoscritta al quadrato ABCD, sull'arco CD che non contiene altri vertici. Dimostrare che $ PA^2-PB^2=PB\cdot PD - PA\cdot PC $.
6. In un triangolo ABC, sia AD un'altezza, BE una bisettrice, CF una mediana. Dimostrare che queste tre rette concorrono se e solo se $ a^2(a-c)=(b^2-c^2)(a+c) $.
7. Sia ABCD un quadrilatero ciclico con raggio circoscritto R, lati a,b,c,d e area S. Dimostrare che
(i) $ 16R^2S^2=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) $
(ii) $ RS\sqrt{2}\geq (abcd)^{3/4} $
e discutere il caso di uguaglianza in (ii).
8. Siano D,E,F i punti in cui il cerchio inscritto tocca i lati BC, CA, AB di ABC (rispettivamente). Si supponga $ AF\leq BD\leq CE $ e che valga
$ \displaystyle{\frac{2}{AF}+\frac{5}{BD}+\frac{5}{CE}=\frac{6}{r} $
Si dimostri che ABC è isoscele e se ne calcolino i lati nel caso in cui r=4.
9. Si dimostri che in un generico triangolo vale
$ \frac{3\sqrt{3}}{2}\geq \sin3\alpha+\sin3\beta+\sin3\gamma\geq -2 $
e si discutano i casi di uguaglianza.
10. Sia ABC un triangolo di incentro I; si dimostri che i circocentri di IAB, IAC, IBC individuano una circonferenza di centro nel circocentro di ABC.
11. Sia ABC un triangolo e siano D,E,F tre punti sugli assi di BC, CA, AB. Dimostrare che le perpendicolari da A a EF, da B a DF e da C a DE concorrono.
12. Il cerchio inscritto ad PBC tocca BC in U e PC in V. Il punto S su BC è tale che BS=CU. PS incontra il cerchio inscritto in 2 punti, sia Q il più vicino a P. Sia W su PC tale che PW=VC e sia R l'intersezione di BW e PS. Dimostrare che PQ=RS.
13. Trovare una condizione necessaria e sufficiente sui lati di un triangolo di modo che 2 mediane siano perpendicolari.
14. Sia ABC un triangolo, AD un'altezza e P un punto su di essa; sia E l'intersezione di BP e CA, F l'intersezione di CP e AB. Dimostrare che AD biseca $ \measuredangle EDF $.
15. Date 4 rette p,q,r,s di cui non due parallele e non tre concorrenti, se s è parallela alla retta di eulero del triangolo formato da p,q,r, dimostrare che ogni retta è parallela alla retta di eulero del triangolo formato dalle altre tre.
Buon Lavoro.