OliForum Matematico

La sfera inscritta in un tetraedro tocca le sue 4 facce nei baricentri; dimostrate che il tetraedro è regolare.

Mi raccomando, questa è geometria solida non troppo difficile, quindi sarebbe salutare per molti; risolvete, gente, risolvete!

Una domanda: un tetraedro è regolare se e solo se le sue facce sono triangoli equilateri isometrici, vero?

Sì

Scrivere la lunghezza delle mediane in funzione degli spigoli del tetraedro
e poi imporre che quelle uscenti da uno stesso vertice siano congruenti
funziona?

Plausibilmente funziona, se hai il fegato di portare a termine i conti ....

Lemma
Se due triangoli hanno due mediane ed il terzo lato isometrici allora sono isometrici

Dim
Indichiamo con $ m_a, m_b, m_c $ le mediane relative a a,b,c. Siano noti $ m_a, m_b, c $
Dal teorema di Stewart si ha che:
$ -a^2+2b^2=4m_a^2-2c^2 $
$ 2a^2-b^2=4m_b^2-2c^2 $
Poichè il det. del sistema in a e b non è nullo, il sistema ha una e una sola soluzione. Qindi esiste solo una terna di lati a b e c che soddisfi le condizioni, e per il terzo criterio di congruenza, i triangoli sono anche isometrici.

Ritornando al problema principale.
(1)
Le mediane tracciate da uno stesso vertice sono congruenti, perchè i 3/2 delle congiungenti vertice-baricentro, che sono congruenti perchè tangenti da un punto ad una sfera.
(2)
Quindi, concentrandoci ad esempio sui triangoli ABC e ABD essi sono congruenti perchè AB è in comune, e le mediane relative agli altri due lati sono congruenti (per (1))
(3)Analogamente per i triangoli ACB e ACD. Quindi BC=CD=DB perchè lati corrispondenti di triangoli congruenti. E quindi la faccia BCD è un triangolo equilatero.
(4)Analogamente per le altre facce.
CVD

Ciao.

LOL

"La chiave gira male ... che dici, sfondiamo la porta o facciamo direttamente un buco nella parete di fianco?"

Per pietà della geometria, qualcuno trovi una via che faccia a meno della regola di Cramer e del teorema di Stewart!!!

Cmq, in ogni caso, l'idea è sempre esattamente la stessa.

Bravo Sisifo, ma sii più delicato...

Non mi veniva in mente nient'altro... ci penserò

Beh, in tema con lo sfondare la porta... vettori!!!
Preciso subito che tutti i prodotti vanno intesi come prodoti scalari e li indico con $ * $. Pongo l'origine del sistema di riferimento nel centro O della sfera, poi ho le seguenti relazioni (da considerare in tutti i modi scambiando le variabili, per simmetria):
Dato che il $ |OG_1|=|OG_2| $,
$ (A+B+C)*(A+B+C)=(A+B+D)*(A+B+D) $
Dato che $ OG_3 $ e $ OG_4 $ sono perpendicolari a $ CD $,
$ (A+C+D)*(C-D)=0 $
$ (B+C+D)*(C-D)=0 $
(A; B, C, D sono i vertici)
Sommando queste ultime due relazioni, moltiplicando per 2 e confrontando con la prima si ha che $ |C|=|D| $ (e cicliche) e poi che $ |C-D|=|D-A| $ e simmetriche, che è la tesi... insomma, non ho voglia di scrivere i conti
Ciao!
Maria