Un bel luogo ortico

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what
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Un bel luogo ortico

Messaggio da what » 19 set 2005, 18:14

Ancora spulciando tra le vecchie IMO, ho trovato questo, che mi sembra carino.

Il triangolo $ OAB $ ha l'angolo in $ O $ acuto. Sia $ M $ un punto di $ AB $, e siano $ P,Q $ le proiezioni di $ M $ su $ OA,OB $ rispettivamente. Sia infine $ H $ l'ortocentro di $ OPQ $. Qual è il luogo descritto da $ H $ al variare di $ M $ su $ AB $? E se $ M $ fosse libero di variare all'interno di $ OAB $?

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 21 set 2005, 12:31

Autocensura.
Ultima modifica di elianto84 il 21 set 2005, 13:31, modificato 1 volta in totale.
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gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 29 set 2005, 20:35

Avviso: ho distrattamente chiamato Z l'ortocentro in questione, usando H per un altro punto. Non modifico, nel timore di fare confusione.
Siano AK e BH due altezze di OAB, PR e QS due altezze di OPQ e Z l’intersezione di PR e QS, cioè l’ortocentro in esame; notiamo che le rette QM, AK e PR sono parallele perché perpendicolari ad una stessa retta e che lo stesso vale per QS, BK e MP. Per la similitudine dei triangoli ABK e BQM si ha AK: QM = AB: BM e dal corollario del teorema di Talete applicato alle rette BH e MP si ricava AB: BM = AH: HP; in conseguenza di queste due eguaglianze e di QM = PZ (lati opposti di un parallelogramma) si ottiene AK: PZ = AH: HP. I triangoli AHK e PHZ sono quindi simili, avendo due lati in proporzione e l’angolo compreso uguale (corrispondenti in rette parallele); ne consegue che gli angoli AHK e PHZ sono uguali, cioè che Z sta su HK. Il luogo richiesto è quindi la congiungente i piedi delle altezze condotte da A e B.
Se M si muovesse all'interno di OAB, Z percorrerebbe il triangolo OHK: per convincersene, basta pensare di far scorrere A e B sui lati, mantenendo AB parallelo a se stesso, mentre M si sposta sul segmento AB.
Mentre mi scervellavo sul quesito, ho trovato anche la risposta ad un
problema collegato
Se M si sposta non su un segmento AB, ma su una semiretta uscente da O ed interna all'angolo, qual'è il luogo del predetto ortocentro?
Lascio ad altri il piacere di trovare la non difficile soluzione

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what
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Messaggio da what » 09 ott 2005, 19:29

Ok gianmaria, la prima parte va bene. Però non hai completato l'esercizio!
"La determinazione di un luogo geometrico richiede due dimostrazioni : per poter dire che il luogo cercato è L, si deve mostrare che tutti i punti con le date proprietà appartengono a L e poi bisogna far vedere che tutti i punti di L godono delle suddette proprietà!!" , ipse* dixit.
Solitamente la seconda parte è quasi banale, ma ometterla costa almeno un punto (credo)!

*ipse si riferisce chiaramente a Lui. :shock: :wink:

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 10 ott 2005, 00:29

what ha ragione!!
Bella la citazione, chissà di chi è ...

gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 10 ott 2005, 21:47

Giusta l'obiezione, anche se data la complessità della proprietà non è facile stabilire cosa occorre dimostrare: suppongo l'appartenenza di M ad AB. A qesto scopo basta ripercorrere a ritroso il ragionamento: dalla similitudine dei triangoli ABK e BQM si deduce che l'angolo KBA è uguale.
Oppure si può ragionare per assurdo: se M non sta su AB, detta B' l'intersezione di AM con OB e H' la proiezione di B' su OA, Z dovrebbe appartenere sia a KH che a KH', assurdo

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Messaggio da what » 11 ott 2005, 15:09

Ora va bene. :D

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Oblomov
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Messaggio da Oblomov » 29 ott 2005, 21:24

Pistolando un pò ho trovato che il luogo varia tra un triangolo e due segmenti;in ogni caso due segmenti si trovano su OA e OB.Il che vale anche col luogo di altri punti notevoli del triangolo.Un po' di pazienza e dovrei approdare a qualcosa(ho per caso scoperto l'acqua calda?)
Ciao,caio,icao,oiac,cioa,iaco...
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Messaggio da gianmaria » 30 ott 2005, 20:18

Oblomov ha scritto:ho per caso scoperto l'acqua calda?
Spiacente, ma la risposta è "acqua, acqua"... piuttosto fredda.

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