IMO 2005 - Problema B2

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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EvaristeG
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IMO 2005 - Problema B2

Messaggio da EvaristeG » 17 lug 2005, 21:32

Sia $ ABCD $ un quadrilatero convesso con $ BC, DA $ uguali ma non paralleli. Siano E,F su di essi tali che $ BE=DF $.
Sia P l'intersezione delle diagonali e siano Q,R le intersezioni di $ EF $ con le diagonali.
Dimostrare che le circonferenze circoscritte a PQR hanno un punto in comune diverso da P al variare di E,F su BC, AD.

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Messaggio da EvaristeG » 21 set 2005, 12:26

Hmm ... UP!

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Messaggio da EvaristeG » 30 set 2005, 21:22

Boh, se non lo fa nessuno, lo faccio io...

PRIMA SOLUZIONE : Siano $ \Gamma_1, \Gamma_2 $ le circonferenze circoscritte a BCP e ADP; chiaramente sono congruenti e sia S il loro ulteriore punto di intersezione.
Ora, è chiaro SB=SD e SA=SC (angoli), dunque una rotazione di centro S porta DA su BC e F su E, quindi SE=SF.
Infine è facile capire che esiste una similitudine (omotetia + rotazione) che porta SDB su SAC e passa per SEF (angoli). Quindi SEF è simile a SBD e SCA; da questo con un po' d'angoli si ricava che SRPQ è ciclico.

SECONDA SOLUZIONE : esiste una affinità che porta DA su BC portando F su E, quindi le linee EF inviluppano una conica (per un "noto" teorema di geometria proiettiva); tale conica ha come tangente anche la retta all'infinito (se infatti permettiamo ai punti E,F di variare sulle rette BC e DA, quando uno si allontana all'infinito, anche l'altro lo fa e non vanno nello stesso punto in quanto DA e CB non sono parallele) quindi è una parabola. Di converso, se E si avvicina a B, F si avvicina a D e se E si avvicina a C, F si avvicina a A quindi anche le rette BD e CA sono tangenti alla parabola.
Ma allora PQR ha i lati su tre tangenti alla parabola, quindi il suo cerchio circoscritto passa per il fuoco di detta parabola (dimostratelo!!), che è il punto voluto.

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