Rotazioni triangolari

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what
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Messaggio da what » 28 giu 2005, 17:08

Ciao.
Marco ha scritto: - R3 = identità implica R54 = identità. E' però vero anche il viceversa?
- una traslazione che lascia fisso un punto è l'identità (perché?)
-R54 = R3 applicata 18 volte; quindi [vettore associato a R54] = 18*[vettore di R3]. Pertanto sì, è vero il viceversa.
- ancora vettori: si ha che il vettore-traslazione è nullo, per cui la trasf. è un'identità.

Sono proprio curioso di leggere la tua soluzione!!!

A proposito (ma anche un bel po' OT): arriverà la seconda edizione del cult "pb-solving ad alta voce"?!? :D

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Marco
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Messaggio da Marco » 28 giu 2005, 19:16

OT. Non lo so. Il mio editore recalcitra: dice che ha incassato troppo poco... No. A dire il vero sei il primo che lo chiede. E poi quest'anno saprebbe di poco, dato che avevo visto i testi prima della gara. Magari con qualche altro problema... Boh?
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Messaggio da Marco » 29 giu 2005, 08:09

Ciao. Rieccomi come promesso. Io l'ho scritta così:

Fatti:

1. la composizione di rotazioni di angoli a e b è:
- se a+b non è 0 (mod 360°), una rotazione di angolo a+b
- altrimenti una traslazione.

2. Una traslazione con un punto fisso è l'identità.

3. La traslazione di vettore v applicata n volte è la traslazione di vettore nv.


Chiamando $ R_n $ la rotazione del passo n-esimo e $ T_n $ la composizione di tutte le rotazioni fino al passo n-esimo, la tesi equivale a mostrare che $ T_{54} $ è l'identità.

$ T_{54} = T_3^{18} $ (i.e. $ T_3 $ composta con se stessa 18 volte)

Per 1. $ T_3 $ è una traslazione. Per 3. $ T_{54} = id $ sse $ T_3 = id $.

Fisso un piano di Gauss in modo che $ A_1 = 0, A_2 = 1, A_3 = \zeta $.

Sia $ w = e^{i\pi/3} $ la radice sesta primitiva dell'unità contenuta nel primo quadrante. La rotazione di 120° attorno a c è data da $ z \mapsto w^2 (z - c ) + c $.

Da questo,

$ T_1(0) = 0 $
$ T_2(0) = 1 - w^2 $
$ T_3(0) = w^2( 1 - w^2 - \zeta ) + \zeta $

$ T_3 = id. $ sse $ T_3(0) = 0 $ (per 2.)

Questa è un'eqz di primo grado in $ \zeta $, quindi ha una sola soluzione. Potremmo anche sviluppare tutti i conti per trovarne l'unica soluzione $ \zeta = -w^2 $, ma ecco un metodo più furbo:

Verifico che per i triangoli eql. in senso orario la tesi è vera. Per quanto detto, basta vedere per un solo punto del piano. Lo vedo per $ P_0 = A_1 $. Da questo si vede subito che

$ P_1 = A_1 $; $ P_2 $ è quel punto per cui $ A_1 A_2 P_2 A_3 $ è un parallelogramma con un angolo di 60°; $ P_3 $ è $ A_1 = P_0 $.

Dato che so già che la soluzione è unica, i triangoli equilateri orari sono gli unici che funzionano.
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Messaggio da info » 29 giu 2005, 19:51

Sisifo ha scritto:Scusate... non avevo voglia di scriverla tutta.
Allora, la composizione di una serie di rotazioni la cui somma degli angoli è un multiplo di $ 2 \pi $ è una traslazione (bisogna dimostrarlo anche questo? Comunque si fa per induzione)
per induzione???? ok... ma lo step induttivo credo di no... Personalmente non lo conosco come "fatto" e quindi ci vuole una dimostrazione... ah! E poi per chi deve imparare la geometria di prima liceo (molto utile!):

1) dimostrare che la rotazione è una isometria, ovverosia mantiene i valori delle distanze;

2)dimostrare che una rotazione manda rette in rette... (in realtà si deve dimostrare che una isometria manda rette in rette);

3)dimostrare che se rotiamo con una angolo alfa una figura attorno ad un polo Po oppure attorno ad un polo P1 le figure ottenute vengono a coincidere dopo una traslazione...

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