Il trilatero ispirato
Il trilatero ispirato
Divertitevi... li posto per esercizio... il 2° esercizio è alla portata di tutti o quasi...
1--- Presi 3 segmenti x,y,z aventi un estremo P in comune, si uniscano i vertici liberi in modo da formare un triangolo di lati a,b,c. Si trovi il minimo di a^2+b^2+c^2 al variare della posizione dei segmenti..
2--- dimostrare che in un triangolo vale (a+b+c)^2>=12*rad(3)*A, dove A è l'area...
1--- Presi 3 segmenti x,y,z aventi un estremo P in comune, si uniscano i vertici liberi in modo da formare un triangolo di lati a,b,c. Si trovi il minimo di a^2+b^2+c^2 al variare della posizione dei segmenti..
2--- dimostrare che in un triangolo vale (a+b+c)^2>=12*rad(3)*A, dove A è l'area...
Carino!
1) Se ne parla dopo...
2) Tra i triangoli di assegnato perimetro quello equilatero ha area massima.
Vedi anche: tra i triangoli di data area quello equilatero ha perimetro minimo.
2) Tra i triangoli di assegnato perimetro quello equilatero ha area massima.
Vedi anche: tra i triangoli di data area quello equilatero ha perimetro minimo.
Ultima modifica di elianto84 il 05 giu 2005, 15:54, modificato 1 volta in totale.
Jack alias elianto84 alias jack202
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Errata Corrige
Scusami Info ma oggi ho la pressione particolarmente bassa,
probabile causa di un'accesa tendenza a scrivere cazzate.
Passo ai vettori che mi viene meglio.
Vogliamo minimizzare
||A-B||^2 + ||B-C||^2 +||C-A||^2 =
2(||A||^2 + ||B||^2 + ||C||^2) - 2(A°B+B°C+C°A)
dove ° indica l'usuale prodotto scalare. Ora
2(A°B+B°C+C°A) =||A+B+C||^2 - (||A||^2 + ||B||^2 + ||C||^2)
dunque il problema è ricondotto a MASSIMIZZARE la distanza
del baricentro di ABC (G) dall'origine del sistema (P).
Tale distanza è chiaramente MASSIMIZZATA quando
i vettori PA,PB,PC sono allineati e di verso concorde;
in tal caso il minimo di (a^2+b^2+c^2) vale
(x-y)^2 + (y-x)^2 + (z-x)^2
Ma se volessimo rendere MASSIMA la quantità (a^2+b^2+c^2)?
Dovremmo MINIMIZZARE la distanza di G da P.
E' possibile rendere tale distanza pari a 0 (G coincidente con P)?
Se fosse possibile si avrebbe x = 2/3 m[a], y= 2/3 m, z= 2/3 m[c]
da cui (perdonate i casini della notazione matriciale)
( x^2 ) = ( -1/9 2/9 2/9 ) (a^2)
( y^2 ) = ( 2/9 -1/9 2/9 ) (b^2) cioè w = M d (in forma compatta)
( z^2 ) = ( 2/9 2/9 -1/9 ) (c^2)
Se w è tale che (M^(-1))w sta nel primo ottante,
bene, possiamo far coincidere G con P ed avere
(a^2+b^2+c^2) = (4/3)(m[a]^2+m^2+m[c]^2) = 3(x^2+y^2+z^2)
in caso contrario... è un bel casino.
Da notare che M è quasi una matrice di rotazione dato che
(M)^(-1) = 9 M
dunque quel che conta è che si abbia Mw nel primo ottante.
Altro fatto notevole è che le mediane di un triangolo soddisfano
la disuguaglianza triangolare...
Proof.
-------
ABC triangolo (non-degenere),
L,M,N punti medi di AB,BC,CA (rispettivamente)
G baricentro di ABC (punto di concorrenza di AM,BN,CL)
D,E,F simmetrici di G rispetto ad L,M,N
Risulta, evidentemente, AGD=BGE=CGF
e questi triangoli hanno per lati (2/3) delle mediane di ABC
e per mediane (1/2) dei lati di ABC (sorprendente reciprocità, non credete?)
-------
probabile causa di un'accesa tendenza a scrivere cazzate.
Passo ai vettori che mi viene meglio.
Vogliamo minimizzare
||A-B||^2 + ||B-C||^2 +||C-A||^2 =
2(||A||^2 + ||B||^2 + ||C||^2) - 2(A°B+B°C+C°A)
dove ° indica l'usuale prodotto scalare. Ora
2(A°B+B°C+C°A) =||A+B+C||^2 - (||A||^2 + ||B||^2 + ||C||^2)
dunque il problema è ricondotto a MASSIMIZZARE la distanza
del baricentro di ABC (G) dall'origine del sistema (P).
Tale distanza è chiaramente MASSIMIZZATA quando
i vettori PA,PB,PC sono allineati e di verso concorde;
in tal caso il minimo di (a^2+b^2+c^2) vale
(x-y)^2 + (y-x)^2 + (z-x)^2
Ma se volessimo rendere MASSIMA la quantità (a^2+b^2+c^2)?
Dovremmo MINIMIZZARE la distanza di G da P.
E' possibile rendere tale distanza pari a 0 (G coincidente con P)?
Se fosse possibile si avrebbe x = 2/3 m[a], y= 2/3 m, z= 2/3 m[c]
da cui (perdonate i casini della notazione matriciale)
( x^2 ) = ( -1/9 2/9 2/9 ) (a^2)
( y^2 ) = ( 2/9 -1/9 2/9 ) (b^2) cioè w = M d (in forma compatta)
( z^2 ) = ( 2/9 2/9 -1/9 ) (c^2)
Se w è tale che (M^(-1))w sta nel primo ottante,
bene, possiamo far coincidere G con P ed avere
(a^2+b^2+c^2) = (4/3)(m[a]^2+m^2+m[c]^2) = 3(x^2+y^2+z^2)
in caso contrario... è un bel casino.
Da notare che M è quasi una matrice di rotazione dato che
(M)^(-1) = 9 M
dunque quel che conta è che si abbia Mw nel primo ottante.
Altro fatto notevole è che le mediane di un triangolo soddisfano
la disuguaglianza triangolare...
Proof.
-------
ABC triangolo (non-degenere),
L,M,N punti medi di AB,BC,CA (rispettivamente)
G baricentro di ABC (punto di concorrenza di AM,BN,CL)
D,E,F simmetrici di G rispetto ad L,M,N
Risulta, evidentemente, AGD=BGE=CGF
e questi triangoli hanno per lati (2/3) delle mediane di ABC
e per mediane (1/2) dei lati di ABC (sorprendente reciprocità, non credete?)
-------
Ultima modifica di elianto84 il 05 giu 2005, 16:06, modificato 1 volta in totale.
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1)
_ Definiamo, per comodità x<y<z
_fissiamo il segmento AP=x
_puntiamo col compasso in P e tracciamo due circonferenze: una (g1) di raggio y<x, l'altra (g2) di raggio z>x
_Definiamo il punto B come punto mobile su g1, e C come punto mobile su g2
_Chiamiamo w la retta su cui giace AP
TESI : si avrà min[(AB)^2+(BC)^2+(AC)^2] se A,B,C sono allineati e stanno sulla retta w dalla stessa parte rispetto a P. In tal caso, anche x,y,z appartengono a w. Il triangolo così formato sarà degenere.
DIMOSTRAZIONE:
1)dimostriamo che CA è min quando giacie su AP:
poichè C è mobile su g2, e poichè P è il centro di tale circonerenza, detto D il punto d'intersezione tra g2 e AP, si avrà per D=C. infatti, se consideriamo i triangoli ACP possibili, e chiamando r1 il raggio di g1, si può notare che tale triangolo è formato da r1 (costante) , AP (costante) e CA (variabile). piochè in un triangolo non degenere ogni lato è minore della somma degli altri due, si avrà che :
AP<r1+CA tranne nel caso in cui AP=r1+CA, cioè in cui il tr. è degenere.
2)Dimostriamo che BA è minimo quando B appartiene a w:
Si ragiona allo stesso modo dell'1), considerando il triangolo BAP
3)Dimostriamo che BC è min quando BCP sono allineati:
si ragiona allo stesso modo dell'1) e del 2), e, nella condizione di essere allineati, l'unica che mantiene min(AB) e min(AC), è quando C,A,B sono allineati dalla stessa parte rispetto a P, cioè la tesi.
Il minimo cercato è quindi, in funzione di x,y,z, (x-y)^2+(z-x)^2+(z-y)^2
_ Definiamo, per comodità x<y<z
_fissiamo il segmento AP=x
_puntiamo col compasso in P e tracciamo due circonferenze: una (g1) di raggio y<x, l'altra (g2) di raggio z>x
_Definiamo il punto B come punto mobile su g1, e C come punto mobile su g2
_Chiamiamo w la retta su cui giace AP
TESI : si avrà min[(AB)^2+(BC)^2+(AC)^2] se A,B,C sono allineati e stanno sulla retta w dalla stessa parte rispetto a P. In tal caso, anche x,y,z appartengono a w. Il triangolo così formato sarà degenere.
DIMOSTRAZIONE:
1)dimostriamo che CA è min quando giacie su AP:
poichè C è mobile su g2, e poichè P è il centro di tale circonerenza, detto D il punto d'intersezione tra g2 e AP, si avrà per D=C. infatti, se consideriamo i triangoli ACP possibili, e chiamando r1 il raggio di g1, si può notare che tale triangolo è formato da r1 (costante) , AP (costante) e CA (variabile). piochè in un triangolo non degenere ogni lato è minore della somma degli altri due, si avrà che :
AP<r1+CA tranne nel caso in cui AP=r1+CA, cioè in cui il tr. è degenere.
2)Dimostriamo che BA è minimo quando B appartiene a w:
Si ragiona allo stesso modo dell'1), considerando il triangolo BAP
3)Dimostriamo che BC è min quando BCP sono allineati:
si ragiona allo stesso modo dell'1) e del 2), e, nella condizione di essere allineati, l'unica che mantiene min(AB) e min(AC), è quando C,A,B sono allineati dalla stessa parte rispetto a P, cioè la tesi.
Il minimo cercato è quindi, in funzione di x,y,z, (x-y)^2+(z-x)^2+(z-y)^2
Anche a me viene come jim, a dire il vero... Io ho applicato il teorema del coseno (per questo mi aspettavo che non fosse accessibile a ragazzi di terza), ottenendo la somma:
2x^2+2y^2+2z^2-2xycos(a)-2xzcos(b)-2yzcos(c)
questa è minima quando i coseni sono tutti uguali ad 1. ed il minimo viene appunto
(x-y)^2+(y-x)^2+(z-x)^2
realizzabile con un triangolo degenere... Si aspettano conferme da Elianto84....
La sol di jim mi sembra sulla stessa linea, solo che mi pare lui trovi il minimo di a+b+c... potresti provare a dimostrare che vale lo stesso...
Inoltre, qualcuno che si vuole allenare perchè non posta una sol della disuguaglianza [2] (senza usare derivate)????
Infine, rilancio con un problema che al momento non ho ancora provato. E' il problema [1], ma ora bisogna trovare il max! Per a+b+c il problema era già stato affrontato nel vecchio forum...
--------
A proposito, lo sapete che a scuola ho trovato un modo per gabbare i prof? Stavo ragionando sulla mia situazione scolastica, quando mi è venuta in mente la media di ordine n [la chiamo m(n)]. Ecco, trovate il limite (magari anche senza essere troppo formali, ma se lo siete meglio):
lim [n-->+inf] m(n)
Comodo no????? Perchè non utilizzare questa media invece della solita?
--------
2x^2+2y^2+2z^2-2xycos(a)-2xzcos(b)-2yzcos(c)
questa è minima quando i coseni sono tutti uguali ad 1. ed il minimo viene appunto
(x-y)^2+(y-x)^2+(z-x)^2
realizzabile con un triangolo degenere... Si aspettano conferme da Elianto84....
La sol di jim mi sembra sulla stessa linea, solo che mi pare lui trovi il minimo di a+b+c... potresti provare a dimostrare che vale lo stesso...
Inoltre, qualcuno che si vuole allenare perchè non posta una sol della disuguaglianza [2] (senza usare derivate)????
Infine, rilancio con un problema che al momento non ho ancora provato. E' il problema [1], ma ora bisogna trovare il max! Per a+b+c il problema era già stato affrontato nel vecchio forum...
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A proposito, lo sapete che a scuola ho trovato un modo per gabbare i prof? Stavo ragionando sulla mia situazione scolastica, quando mi è venuta in mente la media di ordine n [la chiamo m(n)]. Ecco, trovate il limite (magari anche senza essere troppo formali, ma se lo siete meglio):
lim [n-->+inf] m(n)
Comodo no????? Perchè non utilizzare questa media invece della solita?
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2°
Siano $ \alpha,\beta,\gamma $ ,R gli angoli del triangolo
ed il circumraggio.Per la ben nota concavita' della funzione sin
nell'intervallo ]0,$ \pi $[, si ha:
$ \displaystyle \frac{{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma }}{3} \le \sin \left( {\frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ $
$ Ora\,\,e': \\ \left( {a + b + c} \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \ge 3(ab + bc + ca) = \\ $
$ \displaystyle = 3\left( {\frac{{2A}}{{\sin \gamma }} + \frac{{2A}}{{\sin \alpha }} + \frac{{2A}}{{\sin \beta }}} \right) = $
$ \displaystyle=6A\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + \frac{1}{{\sin \beta }} + \frac{1}{{\sin \gamma }}} \right) \ge \frac{{18A}}{{\sqrt[3]{{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}}} \ge \\ \ge \frac{{18A}}{{\displaystyle\frac{{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma }}{3}}} \ge \frac{{18A}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 12A\sqrt 3 \\ $
Siano $ \alpha,\beta,\gamma $ ,R gli angoli del triangolo
ed il circumraggio.Per la ben nota concavita' della funzione sin
nell'intervallo ]0,$ \pi $[, si ha:
$ \displaystyle \frac{{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma }}{3} \le \sin \left( {\frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\ $
$ Ora\,\,e': \\ \left( {a + b + c} \right)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \ge 3(ab + bc + ca) = \\ $
$ \displaystyle = 3\left( {\frac{{2A}}{{\sin \gamma }} + \frac{{2A}}{{\sin \alpha }} + \frac{{2A}}{{\sin \beta }}} \right) = $
$ \displaystyle=6A\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + \frac{1}{{\sin \beta }} + \frac{1}{{\sin \gamma }}} \right) \ge \frac{{18A}}{{\sqrt[3]{{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}}} \ge \\ \ge \frac{{18A}}{{\displaystyle\frac{{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma }}{3}}} \ge \frac{{18A}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 12A\sqrt 3 \\ $
Scuse
Avete ragione ragazzi, il minimo di (a^2 + b^2 + c^2) è effettivamente
(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2
come il discorso dei coseni indubitabilmente evidenzia.
Tuttavia un errore di segno nel calcolo vettoriale mi aveva portato a risolvere
il problema del MASSIMO (che si rivela degnamente più interessante, per fortuna)
che resta comunque parzialmente aperto. (ho corretto il mio post precedente)
Valgono a questo punto le correlazioni
MASSIMO DI ||PG|| <----> MINIMO di (a^2 + b^2 + c^2)
MINIMO DI ||PG|| <-----> MASSIMO di (a^2 + b^2 + c^2)
[NB. Dal caso x=y=z segue quasi immediatamente che
la distanza tra circocentro e baricentro in un triangolo qualsiasi
è esprimibile in funzione della somma dei quadrati dei lati... ]
e invito tutti a concentrarsi sul problema del massimo...
(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2
come il discorso dei coseni indubitabilmente evidenzia.
Tuttavia un errore di segno nel calcolo vettoriale mi aveva portato a risolvere
il problema del MASSIMO (che si rivela degnamente più interessante, per fortuna)
che resta comunque parzialmente aperto. (ho corretto il mio post precedente)
Valgono a questo punto le correlazioni
MASSIMO DI ||PG|| <----> MINIMO di (a^2 + b^2 + c^2)
MINIMO DI ||PG|| <-----> MASSIMO di (a^2 + b^2 + c^2)
[NB. Dal caso x=y=z segue quasi immediatamente che
la distanza tra circocentro e baricentro in un triangolo qualsiasi
è esprimibile in funzione della somma dei quadrati dei lati... ]
e invito tutti a concentrarsi sul problema del massimo...
Jack alias elianto84 alias jack202
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visto che ci sono
Visto che ci sono fornisco anche un'alternativa alla dimostrazione di Karl per il 2
Alfa, Beta, Gamma angoli di un triangolo.
Per la convessità della cotangente tra 0 e pi/2
ctg(alfa/2) + ctg(beta/2) + ctg(gamma/2) >= 3ctg(pi/6) = 3 sqrt(3)
moltiplichiamo per 2r, diametro della circonferenza inscritta
(-a+b+c) + (a-b+c) + (a+b-c) >= 6 sqrt(3) r
(a+b+c) >= 6sqrt(3) r
moltiplicando per (a+b+c)
(a+b+c)^2 >= 12 sqrt(3) A
Alfa, Beta, Gamma angoli di un triangolo.
Per la convessità della cotangente tra 0 e pi/2
ctg(alfa/2) + ctg(beta/2) + ctg(gamma/2) >= 3ctg(pi/6) = 3 sqrt(3)
moltiplichiamo per 2r, diametro della circonferenza inscritta
(-a+b+c) + (a-b+c) + (a+b-c) >= 6 sqrt(3) r
(a+b+c) >= 6sqrt(3) r
moltiplicando per (a+b+c)
(a+b+c)^2 >= 12 sqrt(3) A
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info ha scritto: Infine, rilancio con un problema che al momento non ho ancora provato. E' il problema [1], ma ora bisogna trovare il max! Per a+b+c il problema era già stato affrontato nel vecchio forum...
Istintivamente mi viene da dire
max[a^2+b^2+c^2]=[(x-y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2]
sempre assumendo y<x<z.
Anche in questo caso si tratta di un triangolo degenere. Ho già una bozza di soluzione, ma aspetto che sia completa prima di postarla.
Ribadisco (G baricentro di ABC)info ha scritto: Infine, rilancio con un problema che al momento non ho ancora provato. E' il problema [1], ma ora bisogna trovare il max! Per a+b+c il problema era già stato affrontato nel vecchio forum...
(a^2 + b^2 + c^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2) - ||PG||^2
NB. Se x,y,z soddisfano la disuguaglianza triangolare possiamo avere P=G.
Costruiamo PTS tale che si abbia PT=x, TP=y, PS=z.
Sia B il simmetrico di T rispetto a Z, punto medio di PS.
Sulla retta ZP si prenda C, dalla parte di P, tale che PC=PS=z.
Si rinomini T come A.
ABC è tale che AP=x, BP=y, CP=z e il suo baricentro è P, da cui
(a^2 + b^2 + c^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2)
Punto 2. Il problema è ricondotto a considerare il caso in cui
z,y e z NON soddisfano la disuguaglianza triangolare (qui sì che
la soluzione è degenere). Torna utile considerare quanto segue...
Fissiamo A e B (AP=x BP=y) e lasciamo che C vari sulla circonferenza
di centro P e raggio z. G varierà su una circonferenza (Gamma)
che avrà raggio z/3 e centro il baricentro di ABP. Proof: vector power!
Come varia ora il centro di Gamma al variare di B sulla circonferenza
di centro P e raggio y? Descrive una circonferenza centrata ad un terzo
del segmento PA e con raggio y/3... da qui è facile.
Jack alias elianto84 alias jack202
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Si potrebbe anche fare così per il [2]:
$ \displaymatch a \ge \sqrt {a^2 - \left( {b - c} \right)^2 } \Rightarrow abc \ge \left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right) $
Quindi applicando la formula di Erone e AM-GM
$ A \le \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)abc} \le \frac{1}{4}\sqrt {\frac{{\left( {a + b + c} \right)^4 }}{{27}}} = \frac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{12\sqrt 3 }} $
Molto simile a questa è la disuguaglianza di Weitzenbock:
$ a^2 + b^2 + c^2 \ge 4\sqrt 3 A $ che praticamente si dimostra dalla prima.
Questa invece è abbastanza diversa dalle precedenti(disuguaglianza di Hadwiger-Finsler):
$ 2ab + 2bc + 2ac - \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) \ge 4\sqrt 3 A $
Chi la dimostra?
$ \displaymatch a \ge \sqrt {a^2 - \left( {b - c} \right)^2 } \Rightarrow abc \ge \left( {a + b - c} \right)\left( {a + c - b} \right)\left( {b + c - a} \right) $
Quindi applicando la formula di Erone e AM-GM
$ A \le \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)abc} \le \frac{1}{4}\sqrt {\frac{{\left( {a + b + c} \right)^4 }}{{27}}} = \frac{{\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{12\sqrt 3 }} $
Molto simile a questa è la disuguaglianza di Weitzenbock:
$ a^2 + b^2 + c^2 \ge 4\sqrt 3 A $ che praticamente si dimostra dalla prima.
Questa invece è abbastanza diversa dalle precedenti(disuguaglianza di Hadwiger-Finsler):
$ 2ab + 2bc + 2ac - \left( {a^2 + b^2 + c^2 } \right) \ge 4\sqrt 3 A $
Chi la dimostra?
Ultima modifica di __Cu_Jo__ il 06 giu 2005, 16:52, modificato 1 volta in totale.
Alura, essendo il proof di Elianto84 essenzialmente vettoriale, metto giù qualche proprietà da lui utilizzata e qualche osservazione… Questo è fatto innanzitutto per me che “nun so ‘nà nerchia” e per quelli nelle mie condizioni: invece i vettori paiono essere utili… spero che non ne abbiate a male…
formula:
[[A+B]]^2 = [[A]]^2+[]^2 + 2 (A°B)
questa proprietà deriva dal teorema di Carnet e dalla definizione di prodotto scalare. Il segno + deriva da come è definito l’angolo tra vettori.
con l’induzione si generalizza ad n vettori.
Formula per il baricentro:
definito il triangolo con 3 vettori A, B e C misurati con un punto P come origine, per trovare il baricentro trovo innanzitutto il vettore posizione M del punto medio di un lato:
M – A = C
B – M = C
Da cui M = (A + B)/2
Quindi trovo il punto che divide con rapporto ½:
2/3 (M – C ) = G – C
1/3 (M – C) = M – G
da cui G = (A+B+C)/3
Applicando queste due formule si arriva a dire che la somma dei 3 quadrati dei lati è uguale ad una costante – [[A+B+C]]^2. (A+B+C) rappresenta il vettore posizione del baricentro moltiplicato per 3. Se noi minimizziamo il modulo del vettore posizione del baricentro siamo a posto. Esso è minimo naturalmente quando l’origine P è già il baricentro. Da qui la costruzione di Elianto84…
[osservazioni: lasciando perdere il discorso sul baricentro, in realtà questo importa poco. In sostanza noi dobbiamo fare in modo che la somma vettoriale dei 3 vettori sia 0. Questo è possibile solo quando i 3 vettori formano un triangolo. E la costruzione vettoriale è chiara. Ammettiamo di avere X,Y Z che soddisfano le condizioni. Deve essere X+Y+Z=0 -> X+Y= - Z (abbiamo ribaltato un vettore) -> ora basta traslare un vettore per ottenere il triangolo di lati [[X]],[[Y]],[[Z]]. Si ripete il procedimento al contrario per ottenere la costruzione effettiva]
Per quanto riguarda il caso successivo, resta sempre vero che bisogna minimizzare [[A+B+C]]. Elianto84 lavora sempre su [[(A+B+C)/3]] ma è lo stesso. Il procedimento consiste nel tenere fisso un lato, vedere come varia la posizione del baricentro o di quel vettore posizione e prendere la posizione più vicina a P. Chiarisco solo il “vector power”:
G = (A+B)/3 +C/3
Se A+B sono fissi e C varia su una circonferenza, allora C/3 rappresenta una circonferenza dilatata alla quale si assomma un traslazione di vettore. Dato che (A+B)/3 = (A+B+0)/3 il vettore di traslazione è il vettore posizione del baricentro di A,B P. Da qui il luogo citato… Analogamente si procede per il resto…
formula:
[[A+B]]^2 = [[A]]^2+[]^2 + 2 (A°B)
questa proprietà deriva dal teorema di Carnet e dalla definizione di prodotto scalare. Il segno + deriva da come è definito l’angolo tra vettori.
con l’induzione si generalizza ad n vettori.
Formula per il baricentro:
definito il triangolo con 3 vettori A, B e C misurati con un punto P come origine, per trovare il baricentro trovo innanzitutto il vettore posizione M del punto medio di un lato:
M – A = C
B – M = C
Da cui M = (A + B)/2
Quindi trovo il punto che divide con rapporto ½:
2/3 (M – C ) = G – C
1/3 (M – C) = M – G
da cui G = (A+B+C)/3
Applicando queste due formule si arriva a dire che la somma dei 3 quadrati dei lati è uguale ad una costante – [[A+B+C]]^2. (A+B+C) rappresenta il vettore posizione del baricentro moltiplicato per 3. Se noi minimizziamo il modulo del vettore posizione del baricentro siamo a posto. Esso è minimo naturalmente quando l’origine P è già il baricentro. Da qui la costruzione di Elianto84…
[osservazioni: lasciando perdere il discorso sul baricentro, in realtà questo importa poco. In sostanza noi dobbiamo fare in modo che la somma vettoriale dei 3 vettori sia 0. Questo è possibile solo quando i 3 vettori formano un triangolo. E la costruzione vettoriale è chiara. Ammettiamo di avere X,Y Z che soddisfano le condizioni. Deve essere X+Y+Z=0 -> X+Y= - Z (abbiamo ribaltato un vettore) -> ora basta traslare un vettore per ottenere il triangolo di lati [[X]],[[Y]],[[Z]]. Si ripete il procedimento al contrario per ottenere la costruzione effettiva]
Per quanto riguarda il caso successivo, resta sempre vero che bisogna minimizzare [[A+B+C]]. Elianto84 lavora sempre su [[(A+B+C)/3]] ma è lo stesso. Il procedimento consiste nel tenere fisso un lato, vedere come varia la posizione del baricentro o di quel vettore posizione e prendere la posizione più vicina a P. Chiarisco solo il “vector power”:
G = (A+B)/3 +C/3
Se A+B sono fissi e C varia su una circonferenza, allora C/3 rappresenta una circonferenza dilatata alla quale si assomma un traslazione di vettore. Dato che (A+B)/3 = (A+B+0)/3 il vettore di traslazione è il vettore posizione del baricentro di A,B P. Da qui il luogo citato… Analogamente si procede per il resto…
Per Cujo.
Si tratta di un procedimento assai noto;ecco la successione dei calcoli:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha = (b - c)^2 + 2bc(1 - \cos \alpha )} $
$ a^2 = (b - c)^2 + 4bc\sin ^2 \frac{\alpha }{2} = (b - c)^2 + 4\frac{{2S}}{{\sin \alpha }}\sin ^2 \frac{\alpha }{2} $
$ a^2 = (b - c)^2 + 4S\tan \frac{\alpha }{2} $
$ b^2 = (c - a)^2 + 4S\tan \frac{\beta }{2} $
$ c^2 = (a - b)^2 + 4S\tan \frac{\gamma }{2} $
$ a^2 + b^2 + c^2 = (b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2 $$ + 4S(\tan \frac{\alpha }{2} + \tan \frac{\beta }{2} + \tan \frac{\gamma }{2}) $
$ 2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2 ) = 4S(\tan \frac{\alpha }{2} + \tan \frac{\beta }{2} + \tan \frac{\gamma }{2}) $$ \ge 4S*3\tan \left( {\frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{6}} \right) = 4S\sqrt 3 $
Si tratta di un procedimento assai noto;ecco la successione dei calcoli:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha = (b - c)^2 + 2bc(1 - \cos \alpha )} $
$ a^2 = (b - c)^2 + 4bc\sin ^2 \frac{\alpha }{2} = (b - c)^2 + 4\frac{{2S}}{{\sin \alpha }}\sin ^2 \frac{\alpha }{2} $
$ a^2 = (b - c)^2 + 4S\tan \frac{\alpha }{2} $
$ b^2 = (c - a)^2 + 4S\tan \frac{\beta }{2} $
$ c^2 = (a - b)^2 + 4S\tan \frac{\gamma }{2} $
$ a^2 + b^2 + c^2 = (b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2 $$ + 4S(\tan \frac{\alpha }{2} + \tan \frac{\beta }{2} + \tan \frac{\gamma }{2}) $
$ 2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2 ) = 4S(\tan \frac{\alpha }{2} + \tan \frac{\beta }{2} + \tan \frac{\gamma }{2}) $$ \ge 4S*3\tan \left( {\frac{{\alpha + \beta + \gamma }}{6}} \right) = 4S\sqrt 3 $