concorrenza in un triangolo

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thematrix
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concorrenza in un triangolo

Messaggio da thematrix » 27 mag 2005, 22:37

Sia ABC un triangolo acutangolo scaleno, e siano D e V rispettivamente il piede dell'altezza e della bisettrice uscenti da A.La circonferenza circoscritta al triangolo ADV incontra AC e AB ,oltre che in A,rispettivamente nei punti E e F.Dimostrare che AD,BE,CF sono concorrenti.
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 28 mag 2005, 04:24

E' un bel problemino ed un buon esercizio.
Qual è la fonte?

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phi
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Messaggio da phi » 28 mag 2005, 11:32

Credo che th_matrix avesse detto ieri sera che è un vecchio preIMO...
cmq stamattina a mente più fresca ho finalmente concluso in due minuti le mie "allegre cevizzazioni" :D e questo è quel che è venuto fuori.

EDIT: accidenti, ho considerato E su AB e F su AC; dai, capite lo stesso, vero? Non ho voglia di cambiare tutto... tanto è identico!
Notiamo che AT, poiché su di esso insiste ADT che è retto, è un diametro. Consideriamo i triangoli AET e AFT; sono rettangoli, hanno un lato in comune e un altro angolo congruente (angolo AET=TAF poiché AT bisettrice): perciò sono congruenti, e possiamo dire che AE=AF.
Ora, per il teorema di Ceva, le nostre rette sono concorrenti sse
BD*CF*AE=DC*FA*EB
Semplifichiamo AE e AF. Vogliamo dimostrare che
BD*CF=DC*EB
ovvero che BD/EB=DC/CF
Consideriamo il triangolo DCF; esso è simile a ATC poiché CDF insiste sullo stesso arco di TAC e l'angolo in C è in comune. Quindi possiamo scrivere che DC/CF=AC/TC.
Ora passiamo al triangolo EBT; esso è simile a BTA, infatti EDB è suppl. a EDT, che è suppl. a EAT (insistono su archi complementari), ovvero gli angoli EDB e BAT sono congruenti; l'angolo in B è in comune. Perciò possiamo scrivere BD/EB=AB/BT.
Sostituendo le nuove relazioni nell'uguaglianza che volevamo dimostrare, otteniamo
AB/BT=AC/CT
Ma questo è vero! Infatti AT è bisettrice, e per il teorema della bisettrice essa divide il lato BC in parti proporzionali agli altri due lati.
c.v.d. (o, se preferisci, the_matrix, s.g.o.p.n.!)

A proposito, alla fine ti ho calunniato, the_matrix, era davvero un problema carino! :wink: Spero solo di non aver cannato la dimostrazione...

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 28 mag 2005, 14:59

Giustissimo phi, l'ho risolto anch'io nello stesso modo!
[Nota che oltre ad aver scambiato E con F ha sostituito V con T.]

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Messaggio da phi » 28 mag 2005, 17:21

MindFlyer ha scritto:Nota che oltre ad aver scambiato E con F ha sostituito V con T.
Ops, è vero! A scrivere le soluzioni presumendo di ricordarsi il testo a memoria si finisce per ribattezzare i punti a casaccio... :oops:
Comunque adesso tocca a EvaristeG: dai, posta la tua sol cogli angoli, sono troppo curiosa di sapere come veniva! :D

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Messaggio da thematrix » 28 mag 2005, 19:08

allora,vediamo un po' di fare il punto...

1)fonte:si tratta dell'es 11 di geometria nel pre-IMO 2002

2)la sol è identica anche alla mia :P

3)ooooora pro noooooooooobis!!!
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karl
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Messaggio da karl » 28 mag 2005, 21:47

Non vorrei disilludere nessuno ma il problema e' stato gia '
postato da Talpuz (vedi vecchio forum "Proponi gli esercizi"
a pagina 9 sotto il titolo "qualche problema")
C'e' anche una mia soluzione (assai simile a quella di Phi).

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 29 mag 2005, 04:51

Ecco qui il link alla pagina citata da karl.
In effetti l'approccio di karl è uguale a quelli già visti, e probabilmente è l'unico sensato. Spiacente phi, non avrai la tua soluzione con gli angoli! :cry:

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Messaggio da info » 29 mag 2005, 17:53

D'oh... ho provato diversi approcci non algebrici... non mi esce fuori nulla di buono... ho provato a ruotare di tutto! La cosa più gestibile sembra invertire il tutto rispetto ad A. Dato che è la prima volta che uso l'inversione (nel senso, c'avevo provato a Gennaio ma non avevo risolto quasi nulla! anche perchè alle pagine indicate da EVaristeG mancava la sezione "esempi") e mi pare un argomento difficile, non so se è corretta la tesi invertita, ho paura di avere confuso qualcosa.... Non ho cmq la sol... ho semplicemente "cambiato" il problema: ditemi cosa ne pensate:

Tesi invertita:

presa una circonferenza gamma, si prendano 2 punti O e D su gamma estremi del medesimo diametro. Si prendano su gamma tre punti C, B e V tali che <COV=<VOB. Si tracci VD che interseca OC in E ed OB in F. Si tracci la circoonferenza per O,B ed E che incontra OD in M. Allora OCMF è ciclico.

Finora la cosa più intelligente che ho trovato è OE=OF.. :wink: ... ma dato che arrivo da innumerevoli tentativi euclidei forse sono un pò stanco :shock:... del resto non sono nemmeno sicuro che la tesi sia vera...

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 29 mag 2005, 20:53

Cara phi, mi spiace deluderti : la mia dimostrazione consisteva nel notare tutte le congruenze che usi tu e poi dimostrare la concorrenza con un argomento di similitudine che ... è il teorema di ceva camuffato. E' per questo che ho rinunciato all'idea di riutilizzare questo prob come esercizio sugli angoli...quando mi sono accorto che in realtà avevo usato Ceva, ho pensato che tutti quelli che lo conoscevano lo avrebbero usato senza pensare agli angoli mentre chi non lo conosceva probabilmente non avrebbe neanche visto la complessa costruzione di similitudini.
Se proprio morissi dalla voglia, posso postare lo stesso, ma è identica alle vostre, se non più lunga.

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