Un problema irritante

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elianto84
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Un problema irritante

Messaggio da elianto84 » 25 mag 2005, 17:12

Un celebre problema irritante.

Sia ABC un triangolo e D,E,F i piedi delle bisettrici uscenti rispettivamente da A,B,C
Note le lunghezze |AD|,|BE|,|CF|, determinare |AB|,|BC|,|CA|.
Sono possibili diverse configurazioni?
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Boll
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Messaggio da Boll » 05 lug 2005, 12:45

Ho riguardato questo problemino caduto nell'oblio. E' possibile che mi esca
$ \displaystyle b_c=\sqrt{\frac{b^4+2a^2c^2+abc^2-a^2b^2-ab^3}{(a+b)^2}} $
e cicliche
dove $ b_i $ è la bisettrice con il piede sul lato $ i $ e $ a,b,c $ sono i lati???

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karl
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Messaggio da karl » 05 lug 2005, 13:59

La formula esatta e':
$ \displaystyle l_c=\sqrt\frac{a^3b+ab^3+2a^2b^2-abc^2}{(a+b)^2} $
oppure in formula... piu' umana:
$ \displaystyle l_c=\frac{2}{a+b}\sqrt \[abp(p-c)\] $
In particolare per un triangolo equilatero si ha:
$ \displaystyle l_c=\sqrt\frac{a^4+a^4+2a^4-a^4}{4a^2}=\frac{a\sqrt3}{2} $
come deve essere ,dato che in questo caso la bisettrice coincide con l'altezza.
Viceversa la formula da te indicata porta ad un diverso risultato.
A meno di qualche diavoleria, sono propenso a credere che il problema non possa risolversi per via algebrica visto che il sistema che ne verrebbe fuori mettendo insieme le tre formule delle bisettrici e' di ....64° grado! Penso piuttosto ad una
soluzione geometrica.
Ciao.

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Boll
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Messaggio da Boll » 06 lug 2005, 08:11

Mi sarò perso in giro qualcosa nei contazzi, prima o poi prendo il coraggio a due mani e ricontrollo...

Il problema originale è veramente irritante :P;)

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