(a) Dimostrare che la somma delle distanze del baricentro dalle rette contenenti i tre lati e maggiore o uguale a tre volte la misura del raggio inscritto al triangolo. Si determini anche in quali casi si ha l'uguaglianza.
(b)Si determini il punto (o i punti) del triangolo per i quali la somma delle distanze dalle rette contenenti i lati è minima.
Italian TST 2005: problema n°2
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Simo_the_wolf
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Caso (a).
Siano S,a,b,c l'area ed i lati del triangolo.Inoltre indichiamo con:
$ h_a,h_b,h_c,d_a,d_b,d_c $ le altezze e le distanze del baricentro
relative ai tre lati.
Si ha:
$ d_a+d_b+d_c= \frac {1}{3}(h_a+h_b+h_c)= \frac {2S}{3}( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) $
Ovvero,per AM-HM:
$ d_a+d_b+d_c \geq \frac{2S}{3}( \frac{9}{a+b+c}) $
Cioe':
$ d_a+d_b+d_c \geq \frac{6S}{2p}=3r $
L'eguaglianza si ha quando il triangolo e' equilatero.
Siano S,a,b,c l'area ed i lati del triangolo.Inoltre indichiamo con:
$ h_a,h_b,h_c,d_a,d_b,d_c $ le altezze e le distanze del baricentro
relative ai tre lati.
Si ha:
$ d_a+d_b+d_c= \frac {1}{3}(h_a+h_b+h_c)= \frac {2S}{3}( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) $
Ovvero,per AM-HM:
$ d_a+d_b+d_c \geq \frac{2S}{3}( \frac{9}{a+b+c}) $
Cioe':
$ d_a+d_b+d_c \geq \frac{6S}{2p}=3r $
L'eguaglianza si ha quando il triangolo e' equilatero.
Non trovate che il punto a) sia molto carino ??? 
P.S. (tanto è troppo difficile per darsi ad una qualunque gara -- IMO esclusi, forse) : dimostrare che il luogo dei punti per cui la somma delle distanze dai lati coincide con il triplo del raggio del cerchio inscritto è il segmento staccato dal perimetro del triangolo sulla retta passante per l'incentro e perpendicolare alla congiungente circocentro incentro.
P.S. (tanto è troppo difficile per darsi ad una qualunque gara -- IMO esclusi, forse) : dimostrare che il luogo dei punti per cui la somma delle distanze dai lati coincide con il triplo del raggio del cerchio inscritto è il segmento staccato dal perimetro del triangolo sulla retta passante per l'incentro e perpendicolare alla congiungente circocentro incentro.
EvaristeG: E' diretta conseguenza del teorema di Mongodi-D'Aurizio.
(OT): Mi invii il proof euclideo che ti spedisco quello semi-algebrico?
(OT2): Vista la nuova grafica della mia home?
(OT): Mi invii il proof euclideo che ti spedisco quello semi-algebrico?
(OT2): Vista la nuova grafica della mia home?
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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Confermo!info ha scritto:(caso b)... aspetto smentite o conferme per postare (ieri mi pareva andasse ma ero un pò fatto: ora non ho voglia di ricontrollare)... se dovessi scommettere direi che non c'ho preso...
RISP: Il minimo si ha nel vertice dal quale esce la minore altezza del triangolo...
E provo a formalizzare:
Sia $ P $ il nostro punto all'interno di $ ABC $.Simo_the_wolf ha scritto:(b)Si determini il punto (o i punti) del triangolo per i quali la somma delle distanze dalle rette contenenti i lati è minima.
Siano $ d_1,d_2,d_3 $ le nostre distanze, e rispettivamente $ h_1,h_2,h_3 $ le altezze ad esse parallele e relative ai lati $ AB,BC,AC $.
Si avrà $ d_1=s*h_1 $ dove $ s $ è un reale t.c. $ 0\leq s\leq 1 $.
Tracciamo la parallela ad $ AB $ passante per $ P $, che incontra $ BC $ in $ M $ e $ AC $ in $ N $.
Il triangolo $ CMN $ è il trasformato del triangolo $ ABC $ secondo l'omotetia di centro $ C $ e $ k=1-s $; dunque, dette $ h'_2,h'_3 $ le rispettive trasformate di $ h_2,h_3 $, avremo $ d_2=t*h'_2=t(1-s)*h_2 $ e $ d_3=(1-t)*h'_3=(1-s)(1-t)*h_3 $ con $ t $ reale t.c. $ 0\leq t\leq1 $.
Quindi $ d_1+d_2+d_3 = $ $ s*h_1+t(1-s)*h_2+(1-s)(1-t)*h_3 = a*h_1+b*h_2+c*h_3 $, con $ a,b,c $ reali positivi a somma 1; pertanto il minimo si avrà quando due di essi sono uguali a zero e il coefficiente dell'altezza minore è uguale ad 1.
Sono un po' stordito quindi potrei aver toppato qualcosa.
