Triangoli

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elianto84
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Lemma

Messaggio da elianto84 » 25 mag 2005, 12:10

Sulla dimostrazione euclidea, ci penserò.
Ora un'alternative version della dimostrazione di prima ovvero

ABC triangolo, M punto medio di BC,
2|AM| < |AB|+|AC|

poichè, passando ai quadrati (qui interviene il teorema della mediana)
2c^2 + 2b^2 - a^2 < b^2 + c^2 + 2bc

che diviene
(b-c)^2 < a^2

ovvia dato che
b < a+c
c < a+b

per la seconda parte possiamo prendere A'
come simmetrico di A rispetto a M, G come baricentro di ABC
e H come baricentro di A'BC, poi applicare la disuguaglianza

somma mediane < perimetro

al triangolo BGH: otteniamo

1/2 perimetro ABC < 2/3 somma mediane ABC

ed abbiamo finito.
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