OliForum Matematico

Consideriamo 100 punti nel piano disposti in modo che il numero di tutte le rette passanti per almeno 2 di essi sia 2005. Mostrare che ne esistono 4 allineati...

e per qualche visitatore di Milano dovrebbe essere familiare

E se il numero di tutte le rette passanti per almeno due di essi fosse 1550 ?

Se su ogni retta ci fossero solo due punti, il numero n delle rette sarebbe 11*99/2 = 4950. Essendo n<4950, vi sono rette con almeno 3 punti allineati; sia k il numero di quelle che ne hanno esattamente 3. Ognuna di esse raccoglie in sè le tre rette che questi punti individuerebbero, quindi diminuisce di 2 il numero delle rette. Quindi se non vi fossero rette con 4 o più punti avrei 4950-2k = n, il che è possibile solo con n pari e maggiore o uguale a 1650 (altrimenti avrei k>n, assurdo). Per n=2005 e n=1550 devono esserci rette con almeno 4 punti allineati.
Scusa, ma cosa c'entra Milano?

Rispondo in frettissima...
Il quesito viene dalle gare organizzate dalla facoltà di matematica (credo!) di Milano... qualche forumista aveva partecipato! La mia modifica consiste nel n=1550...

Per n=2005 la tua sol è uguale a quella ufficiale e nn sò se ne esistano altre...

Per n=1550 nn sò... La mia sol (sempre che sia corretta!) dimostra più o meno quello che dimostri tu, ma in altra maniera, forse un pò più contorta... ma potresti spiegare un pò meglio la tua formalizzandola un pò?

Mi spiego meglio: per h punti non allineati passano h(h-1)/2 rette; se invece essi sono allineati ne passa una sola, per cui il numero complessivo di rette viene diminuito di h(h-1)/2 - 1. Quindi una retta con 3 punti diminuisce il totale di 2, una con 4 di 5, eccetera. Se il numero massimo di punti è 3 e si riferisce a k rette, il numero totale di rette è n = 4950 -2k. Il 1650 è ottenuto da 4950/3, che si ha per n=k ed è conseguenza di k<=n (scusa, ma non so usare la TeX, ho usato il simbolo del Pascal).
Naturalmente il mio ragionamento potrebbe essere sbagliato; potresti dirmi il tuo?[/tex]

Ok, perfetto!... scusa ma avevo frainteso un punto...