punti e rette

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punti e rette

Messaggio da info » 06 mag 2005, 15:12

Consideriamo 100 punti nel piano disposti in modo che il numero di tutte le rette passanti per almeno 2 di essi sia 2005. Mostrare che ne esistono 4 allineati...

e per qualche visitatore di Milano dovrebbe essere familiare :D

E se il numero di tutte le rette passanti per almeno due di essi fosse 1550 ?

gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 09 mag 2005, 21:59

Se su ogni retta ci fossero solo due punti, il numero n delle rette sarebbe 11*99/2 = 4950. Essendo n<4950, vi sono rette con almeno 3 punti allineati; sia k il numero di quelle che ne hanno esattamente 3. Ognuna di esse raccoglie in sè le tre rette che questi punti individuerebbero, quindi diminuisce di 2 il numero delle rette. Quindi se non vi fossero rette con 4 o più punti avrei 4950-2k = n, il che è possibile solo con n pari e maggiore o uguale a 1650 (altrimenti avrei k>n, assurdo). Per n=2005 e n=1550 devono esserci rette con almeno 4 punti allineati.
Scusa, ma cosa c'entra Milano?

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Messaggio da info » 11 mag 2005, 13:17

Rispondo in frettissima...
Il quesito viene dalle gare organizzate dalla facoltà di matematica (credo!) di Milano... qualche forumista aveva partecipato! La mia modifica consiste nel n=1550...

Per n=2005 la tua sol è uguale a quella ufficiale e nn sò se ne esistano altre...

Per n=1550 nn sò... La mia sol (sempre che sia corretta!) dimostra più o meno quello che dimostri tu, ma in altra maniera, forse un pò più contorta... ma potresti spiegare un pò meglio la tua formalizzandola un pò?

gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 12 mag 2005, 19:39

Mi spiego meglio: per h punti non allineati passano h(h-1)/2 rette; se invece essi sono allineati ne passa una sola, per cui il numero complessivo di rette viene diminuito di h(h-1)/2 - 1. Quindi una retta con 3 punti diminuisce il totale di 2, una con 4 di 5, eccetera. Se il numero massimo di punti è 3 e si riferisce a k rette, il numero totale di rette è n = 4950 -2k. Il 1650 è ottenuto da 4950/3, che si ha per n=k ed è conseguenza di k<=n (scusa, ma non so usare la TeX, ho usato il simbolo del Pascal).
Naturalmente il mio ragionamento potrebbe essere sbagliato; potresti dirmi il tuo?[/tex]

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Messaggio da info » 14 mag 2005, 15:10

Ok, perfetto!... scusa ma avevo frainteso un punto...

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