Cortona di tento tempo fa:
In un triangolo ABC sia AM la mediana relativa ad A e sia I il punto medio di AM. Detto D il punto di intersezione della retta BI con AC, determinare i possibili valori dell'area del triangolo AID, sapendo che ABC ha area 1.
[facile: lo so fare anch'io...]
Ciao. M.
Allineamenti e aree
Allineamenti e aree
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
]
Risulta [ABI]=[IBM]=[MIC]=1/4.Ne segue che [AID]+[IDC] =1/4.
D'altra parte, se si conduce per I la parallela a BC (che incontri AC in E],
essendo AI=IM,e' pure AE=EC e quindi AD<AE=EC<DC.Pertanto
e' [AID]<[IDC]==>0<[AID]<1/8.
Se avessi sbagliato dovrei prendermela con Marco:non si era detto
che il "facile " disorienta ed avvilisce chi legge?
D'altra parte, se si conduce per I la parallela a BC (che incontri AC in E],
essendo AI=IM,e' pure AE=EC e quindi AD<AE=EC<DC.Pertanto
e' [AID]<[IDC]==>0<[AID]<1/8.
Se avessi sbagliato dovrei prendermela con Marco:non si era detto
che il "facile " disorienta ed avvilisce chi legge?
E' possibile che abbia sbagliato ,pero' resto perplesso sul fatto che risulti
[ADI] =1/12 e quindi fisso.Viceversa e' ragionevole pensare che [AID]
vari al variare delle dimensioni di ABC (lasciandone invariata l'area =1)
e che il suo valore oscilli tra certi limiti, come del resto e' richiesto dal quesito.
Vediamo che succede.
[ADI] =1/12 e quindi fisso.Viceversa e' ragionevole pensare che [AID]
vari al variare delle dimensioni di ABC (lasciandone invariata l'area =1)
e che il suo valore oscilli tra certi limiti, come del resto e' richiesto dal quesito.
Vediamo che succede.
In qualche modo, cercando di rendere simmetrico il disegno, mi è sembrato conveniente giungere a disegnare queste linee:
* la parallela a BC passante per A;
* la parallela ad AM passante per B e quella passante per C;
si prolunghi poi IC e BI, Considerando che su IC e su BI giacciono anche le diagonali del parallelogrammo formatisi (chiamiamolo BCEF). Ora è AD/DC=AE/BC=1/2=A(ADI)/A(DCI)... Inoltre A(ADI)+A(DCI)=1/4. dalle ultime due equazioni si ha la tesi... mi sfugge qualcosa?
* la parallela a BC passante per A;
* la parallela ad AM passante per B e quella passante per C;
si prolunghi poi IC e BI, Considerando che su IC e su BI giacciono anche le diagonali del parallelogrammo formatisi (chiamiamolo BCEF). Ora è AD/DC=AE/BC=1/2=A(ADI)/A(DCI)... Inoltre A(ADI)+A(DCI)=1/4. dalle ultime due equazioni si ha la tesi... mi sfugge qualcosa?
Curioso,anche a me viene $ \frac {1}{12} $...ho fatto più o meno così:
Innanzitutto,si osservi che le aree di BMI,MCI,BIA valgono tutte $ \frac {1}{4} $,perchè:BMI ha base e altezza pari entrambe a metà di ABC;ABM ha base pari a metà di quella di ABC e stessa altezza,dunque area $ \frac {1}{2} $,quindi l'area di ABI è $ \frac {1}{2}-\frac {1}{4}=\frac {1}{4} $;l'area di BIC è $ \frac {1}{2} $,dato che l'altezza è metà di quella di ABC,e la base è uguale,per cui l'area di MIC è $ \frac {1}{2}-\frac {1}{4}=\frac {1}{4} $.Ora,l'area di AIC risulta essere $ 1-\frac {1}{4}-\frac {1}{4}-\frac {1}{4}=\frac {1}{4} $.
Poichè ADI e CDI hanno la stessa altezza,il loro rapporto è identico a quello delle basi.
Ora,compiendo un'affinità e chiamando A' il punto immagine di A,e così con tutti, poichè il punto medio si conserva,A'M' sarà la mediana di A'B'C',e così I' sarà il punto medio di A'M'.Per questo motivo,dato che B',D' e I' rimangono allineati,risulta che D' è l'immagine di D.
A questo punto,rimane solo da calcolare il rapporto tra AD e DC,tenendo presente che ,in termidi di aree,ADI+DCI=$ \frac {1}{4} $.
Infine,trasformando ABC in A'B'C' rettangolo isoscele,tale che A'(0,1),B'(0,0),C'(1,0),il rapporto AD/DC = A'D'/D'C' non cambia.Si vede facilmente che M'($ \frac {1}{2} $,0),I'($ \frac {1}{4} $,$ \frac {1}{2} $).Ora,le rette per A'I' e B'C' sono ripettivamente $ y=2x $ e $ y=1-x $,e si incontrano in D'($ \frac {1}{3} $,$ \frac {2}{3} $).Il rapporto tra le ascisse di A'D' e D'C' è pari a $ \frac {1}{2} $,ed è lo stesso tra i due segmenti e ,quindi,tra le aree di ADI e DCI.Si ottiene dunque che l'area di ADI è $ \frac {1}{3} $ di quella rimanente,ed è quindi uguale a $ \frac {1}{3}*\frac {1}{4}=\frac {1}{12} $
Spero solo di non aver sbagliato trasformando i punti nell'affinità...
Innanzitutto,si osservi che le aree di BMI,MCI,BIA valgono tutte $ \frac {1}{4} $,perchè:BMI ha base e altezza pari entrambe a metà di ABC;ABM ha base pari a metà di quella di ABC e stessa altezza,dunque area $ \frac {1}{2} $,quindi l'area di ABI è $ \frac {1}{2}-\frac {1}{4}=\frac {1}{4} $;l'area di BIC è $ \frac {1}{2} $,dato che l'altezza è metà di quella di ABC,e la base è uguale,per cui l'area di MIC è $ \frac {1}{2}-\frac {1}{4}=\frac {1}{4} $.Ora,l'area di AIC risulta essere $ 1-\frac {1}{4}-\frac {1}{4}-\frac {1}{4}=\frac {1}{4} $.
Poichè ADI e CDI hanno la stessa altezza,il loro rapporto è identico a quello delle basi.
Ora,compiendo un'affinità e chiamando A' il punto immagine di A,e così con tutti, poichè il punto medio si conserva,A'M' sarà la mediana di A'B'C',e così I' sarà il punto medio di A'M'.Per questo motivo,dato che B',D' e I' rimangono allineati,risulta che D' è l'immagine di D.
A questo punto,rimane solo da calcolare il rapporto tra AD e DC,tenendo presente che ,in termidi di aree,ADI+DCI=$ \frac {1}{4} $.
Infine,trasformando ABC in A'B'C' rettangolo isoscele,tale che A'(0,1),B'(0,0),C'(1,0),il rapporto AD/DC = A'D'/D'C' non cambia.Si vede facilmente che M'($ \frac {1}{2} $,0),I'($ \frac {1}{4} $,$ \frac {1}{2} $).Ora,le rette per A'I' e B'C' sono ripettivamente $ y=2x $ e $ y=1-x $,e si incontrano in D'($ \frac {1}{3} $,$ \frac {2}{3} $).Il rapporto tra le ascisse di A'D' e D'C' è pari a $ \frac {1}{2} $,ed è lo stesso tra i due segmenti e ,quindi,tra le aree di ADI e DCI.Si ottiene dunque che l'area di ADI è $ \frac {1}{3} $ di quella rimanente,ed è quindi uguale a $ \frac {1}{3}*\frac {1}{4}=\frac {1}{12} $
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oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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HumanTorch
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Se da C si invia la parallela a BD e da B si conduce la parallela a MC otteniamo un parallelogramma: chiamando F l'intersezione fra le due rette ora condotte notiamo che S[CIF]=S[MIC]=1/4: Per il teorema di Talete, AMD e AFC sono simili ed essendo il rapporto fra i lati AM e AF pari a 1/3, il rapporto fra le aree è pari a 1/9: quindi, se S[AFC]=1/4+1/4+1/4=3/4, S[AMD]=1/12.