Tra due quadrati

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Avatar utente
Fenicottero24
Messaggi: 10
Iscritto il: 20 apr 2005, 20:26
Località: Parma

Tra due quadrati

Messaggio da Fenicottero24 » 28 apr 2005, 17:47

Questo è un problema che ci hanno asseganto all'ultimo stage (Stage di Parma, professori F.Morandin, F.Santabrogio, M.Fantozzi, anche se non so se il problema è loro) che ho fatto, io avevo provato a dare una mia dimostrazione ma i prof hanno detto che era incompleta. Voi come lo risolvereste?

Due quadrati Q1 e Q2 con centri M e N e lato 1 sono disposti sul piano in modo tale che il segmento MN ha lunghezza 4, parallelo a due lati di Q1 e giace sulla stessa retta di una diagonale di Q2. Si trovi il luogo dei punti medi dei segmenti che hanno un estremo interno a Q1 e uno interno a Q2.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 28 apr 2005, 18:25

Di solito, quando una dimostrazione su un luogo è incompleta, è perché non prova che i punti trovati sono i soli ad appartenere al luogo.
E probabilmente Morandin & Co. erano così stufi di ripeterlo (è un errore molto molto comune!) che ti hanno liquidato con un "è incompleta".

Avatar utente
info
Messaggi: 903
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da info » 29 apr 2005, 15:47

Prima di tutto, il luogo... mi pare che questo sia un'ottagono regolare. Ti torna?
Per dimostrarlo scrivo la mia "traccia":

1) tutti i punti dell'ottagono soddisfano...
Questo deriva da come ho ottenuto quell'ottagono, ovverosia sovrapponendo 8 quadratini derivanti dall'omotetia (rapporto 1/2) applicata ad uno dei due quadrati e con polo ognuno dei 4 vertici dell'altro (poi lo stesso invertendo i ruoli)...[resta un quadratino interno poi da "completare"];

2) nessun altro punto soddisfa...

se esiste un punto P esterno, esiste un lato dell'ottagono che giace su una retta che divide P ed ottagono in 2 semispazi diversi. Si consideri la particolare omotetia G dalla quale in precedenza si è ricavata il lato su cui giace questa retta. Si osservi che chiamati A e B i due punti di cui P è il punto medio, P è l'omotetico di B rispetto ad A ma anche l'omotetico di A rispetto a B. Per questo motivo si può considerare che il polo sia in uno a caso dei due quadrati... nel ragionamento sotto questo polo si trova nel medesimo quadrato in cui si trova il polo dell'omotetia G.

Ora si osserva che in una omotetia la distanza tra una retta e la sua omotetica è pari alla distanza OP tra la retta e il polo moltiplicata per (1-k)...in particolare la distanza fra le rette è proporzionale ad OP...

Questo ci serve per dimostrare che l'omotetico di un particolare lato deve per forza stare in un determinato semispazio (dato che a seconda del lato trovato non si può allontanare o avvicinare di più il polo: basta traslare il lato voluto e considerare che tutti gli angoli o quasi sono di 45° per verificare che effettivamente i vertici di un quadrato massimizzano o minimizzano la distanza rispetto ad un lato dell'altro quadrato). Ora qualsiasi retta parallela a questo lato avrà una certa posizione relativa rispetto a questo lato che manterrà anche dopo l'omotetia e quindi anche lei si troverà nel semispazio contenente l'ottagono (disegnare necesse est). Ma questo semispazio non contiene P.

mi sono dilungato più di quanto avevo previsto... mi spiace se non riesco a spiegarmi meglio... spero cmq di nn aver fatto grossi errori...
Ultima modifica di info il 30 apr 2005, 16:34, modificato 1 volta in totale.

Avatar utente
Fenicottero24
Messaggi: 10
Iscritto il: 20 apr 2005, 20:26
Località: Parma

Messaggio da Fenicottero24 » 30 apr 2005, 14:21

Doveri aver capito abbastanza bene.

Non avendo mai fatto le omotetie, io avevo dimostrato che il luogo era un ottagono regolare dimostrando (più o meno) che un qualsiasi segmento all'interno dell'ottagono (e in particolare i suoi lati) è un lato del triangolo simile al triangolo che ha per lati un segmento all'interno di un quadrato e i segmenti che vanno dagli estremi di questo segmento ad un punto qualsiasi nell'altro quadrato.
In partica avevo dimostrato l'omotetia, ma senza sapere cosa fosse (se ho intuito bene cos'è dal post di info).

Poi però, visto che la dimostrazione era venuta lunghissima, mi ero scordato di dimostrare che non c'era nessun punto esterno.

Rispondi