In un triangolo...

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karl
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In un triangolo...

Messaggio da karl » 26 apr 2005, 13:19

Siano ABC e P rispettivamente il generico triangolo
ed un suo punto interno.
Dimostrare che si ha:
$ \left( {\frac{{x_1 + x_2 + x_3 }}{6}} \right)^3 \ge d_1 d_2 d_3 $
dove le x_i sono le distanze di P dai 3 vertici del triangolo e le d_i
quelle di P dai 3 lati.
In quali casi vale l'eguaglianza?
Ultima modifica di karl il 27 apr 2005, 07:51, modificato 1 volta in totale.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 27 apr 2005, 01:20

Ricordo a karl che può aprire e chiudere il tag tex. Quindi non è obbligatorio scrivere tutto il testo del post in LaTeX, ed anzi è meglio non farlo per ragioni di spazio sul server.

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Messaggio da info » 27 apr 2005, 18:23

Alura, bentrovato karl... premetto che la mia non sarà rigorosa e nemmeno completa, non una "da gara" insomma per mancanza di tempo... Cmq:

posto PA=c, PC=a, PB=b, PAB=gamma, PCA=alfa, PBC=beta

la dis diventa

((a+b+c)/6)^3>=abc*sen(alfa)*sen(beta)*sen(gamma)

per AM-GM, Jensen e limiti geometrici (ecco i punti da chiarire bene insieme al caso uguaglianza)...

sen(alfa)*sen(beta)*sen(gamma)<=1/8

e quindi se risulta verificato

((a+b+c)/6)^3>=abc*1/8

siamo a posto---> vera per AM-GM...

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karl
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Messaggio da karl » 27 apr 2005, 18:45

Ciao Info, ben ritrovato anche a te.
Avrei un dubbio sulla relazione sen(alfa)*sen(beta)*sen(gamma)<=1/8 .
Mi pare di ricordare che questa diseguaglianza vale per gli angoli di un triangolo
e nella forma sen(alfa/2)*sen(beta/2)*sen(gamma/2)<=1/8 e non sembra il caso
nostro.Vediamo che succede.
Colgo l'occasione ( piccolo OT) per dirti che in seguito posto
un teorema che permette di risolvere il quesito (nel vecchio forum " teorema di
colore") sull'esagono che pare allora ti interessasse.Mi scuso anche per
l'abissale ritardo con cui rispondo.
Ultima modifica di karl il 28 apr 2005, 12:42, modificato 2 volte in totale.

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Messaggio da info » 27 apr 2005, 19:01

Beh... ci avevo provato come ti dissi :lol:

cmq quella dis è ricavata dal fatto che

alfa+beta+gamma<=90°

come si dimostra? beh... non l'avevo fatto (era uno dei punti da chiarire). Lo faccio ora. Se noti alfa, beta, gamma sono parti degli angoli in A,B e C (con le lettere incasinate, sorry :? ). Se alfa+beta+gamma<=90°, bene, altrimenti si rinominano i lati e ledistanze in modo da applicare il medesimo procedimento su (C-alfa)---(B-beta)---(A-gamma)... avendo queste terne di trangolo somma 180°, per almeno una di esse è verificata la dis sopra... ma non sò quanto questo ragionamento tenga...

applicando Jensen si dimostra che

sen(alfa)+sen(beta)+sen(gamma)<=3/2
se alfa+beta+gamma=90°

consiiderando la crescenza della funzione seno tra 0 e 90° si può dire che vale anche per i nostri alfa+beta+gamma... dopo si applica AM-GM, considerando che i seni hanno valori positivi per quegli angoli...

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Messaggio da karl » 28 apr 2005, 12:32

Ho riveduto il procedimento e ,a meno di smentite da parte di qualche grosso calibro del forum,mi sembra indovinato.
Complimenti ad Info :ha diabolicamente scavalcato una delle piu'
famose diseguaglianze di Erdos che recita cosi:
$ x_1+x_2+x_3 \geq 2(d_1+d_2+d_3) $
da cui ho ricavato appunto la mia.A proposito di quest'ultima c'e' anche una
dimostrazione puramente geometrica che magari postero'.

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