Concorrenza... quadratica

[Marco]

Ciao. Questo è per i ragazzi di Cesenatico:

[Cortona 1989] Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un suo punto interno. Siano $ r_B,r_C, r_D, r_A $ le rette passanti rispettivamente per $ B,C,D,A $ e perpendicolari a $ AP, BP, CP, DP $. Dimostrare che le rette $ r_A, r_B, r_C, r_D $ sono concorrenti.

Ciao. M.

[mattilgale]

concorrenti vuol dire che si incontrano tutte in un unico punto vero?

[thematrix]

Ammetto di averlo fatto con un po'di contazzi

[what]

[Cortona 1989] Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un suo punto interno. Siano $ r_B,r_C, r_D, r_A $ le rette passanti rispettivamente per $ B,C,D,A $ e perpendicolari a $ AP, BP, CP, DP $. Dimostrare che le rette $ r_A, r_B, r_C, r_D $ sono concorrenti.

Allora...
Consideriamo $ PB $. Detto $ O $ il centro del quadrato, ruotiamo rispetto ad $ O $ tale retta di $ \frac \pi 2 $ "verso" $ C $.
(Sarebbe a dire, in senso antiorario se abbiamo messo le lettere $ A,B,C,D $ in senso antiorario, in senso orario altrimenti).
La trasformata $ PB' $ sarà perpendicolare a $ PB $ e passerà per il trasformato di $ B, $ che è $ C $. Pertanto $ PB' $ coincide con $ r_C $.
Ragionando analogamente per $ AP,CP,DP $ troviamo che $ r_A,r_B,r_C,r_D $ concorrono nel punto che altro non è se non il trasformato di $ P $.

[EvaristeG]

[what]

Ehm... significa che è giusto?

[Marco]

Certo, che è giusto!! Scusa, peschi dal cilindro una soluzione elegante... non puoi non essertene accorto.

[what]

Certo, che è giusto!! Scusa, peschi dal cilindro una soluzione elegante... non puoi non essertene accorto.

Certamente, ma devo ammettere che ricevere così tanti sorrisoni da un big come EvaristeG mi ha confuso le idee...

[EvaristeG]

1) non si dicono bugie solo perche' l'interlocutore e' un mod
2) dopo una simile soluzione, la caterva di smiles era il minimo...era tanto che mancavano su questo forum le eleganti dimostrazioni che si cavano dall'opportuno uso delle trasformazioni del piano (infatti il problema di geometria serio dello scorso giornalino l'ha risolto solo una persona, con paginate di angoli e equazioni )
3) ancora bravo!!!

[kemhONE]

Io ho provato ad attarcarlo con furibondi calcoli, ma non ho risolto niente...
Per curiosità, qualcuno potrebbe postare la soluzione "calcolosa"?
Lo so che sarebbe noioso ed alienante, ma è diventata una questione di principio!!
Grazie mille.

P.S.
Anche se i miei valgono meno di quelli di M. e di E.G,
complimenti what!!!

[elianto84]

Yeah! Contazzi!

Fissiamo il riferimento
A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) P(a,b)

Coefficienti angolari e coeff.ang. delle rette associate

AP b / a ---> r -a / b
BP b / (a-1) ---> r[c] (a-1) / b
CP (1-b) / (1-a) ---> r[d] (1-a) / (b-1)
DP (b-1) / a ----> r[a] a / (1-b)

Candidato punto di intersezione (intersezione tra r[a] e r)

Q ( (1-b) ; a )

basta verificare (sempre con i coeff. angolari) che Q giace pure
su r[c] ed r[d] ed abbiamo finito.

(ma che fatica!)