Concorrenza... quadratica

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Marco
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Concorrenza... quadratica

Messaggio da Marco » 11 apr 2005, 14:55

Ciao. Questo è per i ragazzi di Cesenatico:

[Cortona 1989] Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un suo punto interno. Siano $ r_B,r_C, r_D, r_A $ le rette passanti rispettivamente per $ B,C,D,A $ e perpendicolari a $ AP, BP, CP, DP $. Dimostrare che le rette $ r_A, r_B, r_C, r_D $ sono concorrenti.

Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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mattilgale
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ehm

Messaggio da mattilgale » 11 apr 2005, 18:29

concorrenti vuol dire che si incontrano tutte in un unico punto vero?
"la matematica è il linguaggio con cui Dio ha plasmato l'universo"

Galileo Galilei

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thematrix
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Messaggio da thematrix » 11 apr 2005, 18:40

Ammetto di averlo fatto con un po'di contazzi :oops: :oops: :oops:
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.

(Mary-Lou --- Sonata Arctica)

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what
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Re: Concorrenza... quadratica

Messaggio da what » 11 apr 2005, 19:56

Marco ha scritto:[Cortona 1989] Sia $ ABCD $ un quadrato e $ P $ un suo punto interno. Siano $ r_B,r_C, r_D, r_A $ le rette passanti rispettivamente per $ B,C,D,A $ e perpendicolari a $ AP, BP, CP, DP $. Dimostrare che le rette $ r_A, r_B, r_C, r_D $ sono concorrenti.
Allora...
Consideriamo $ PB $. Detto $ O $ il centro del quadrato, ruotiamo rispetto ad $ O $ tale retta di $ \frac \pi 2 $ "verso" $ C $.
(Sarebbe a dire, in senso antiorario se abbiamo messo le lettere $ A,B,C,D $ in senso antiorario, in senso orario altrimenti).
La trasformata $ PB' $ sarà perpendicolare a $ PB $ e passerà per il trasformato di $ B, $ che è $ C $. Pertanto $ PB' $ coincide con $ r_C $.
Ragionando analogamente per $ AP,CP,DP $ troviamo che $ r_A,r_B,r_C,r_D $ concorrono nel punto che altro non è se non il trasformato di $ P $.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 11 apr 2005, 21:17

:D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D
:D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D

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Messaggio da what » 11 apr 2005, 21:36

EvaristeG ha scritto::D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D
:D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D :D
Ehm... significa che è giusto? :oops:

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Marco
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Messaggio da Marco » 13 apr 2005, 08:30

Certo, che è giusto!! Scusa, peschi dal cilindro una soluzione elegante... non puoi non essertene accorto.
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Messaggio da what » 13 apr 2005, 13:52

Marco ha scritto:Certo, che è giusto!! Scusa, peschi dal cilindro una soluzione elegante... non puoi non essertene accorto.
Certamente, ma devo ammettere che ricevere così tanti sorrisoni da un big come EvaristeG mi ha confuso le idee... :wink:

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Messaggio da EvaristeG » 13 apr 2005, 17:37

1) non si dicono bugie solo perche' l'interlocutore e' un mod
2) dopo una simile soluzione, la caterva di smiles era il minimo...era tanto che mancavano su questo forum le eleganti dimostrazioni che si cavano dall'opportuno uso delle trasformazioni del piano (infatti il problema di geometria serio dello scorso giornalino l'ha risolto solo una persona, con paginate di angoli e equazioni )
3) ancora bravo!!!

kemhONE
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Messaggio da kemhONE » 14 apr 2005, 17:29

Io ho provato ad attarcarlo con furibondi calcoli, ma non ho risolto niente...
Per curiosità, qualcuno potrebbe postare la soluzione "calcolosa"?
Lo so che sarebbe noioso ed alienante, ma è diventata una questione di principio!! 8)
Grazie mille.

P.S.
Anche se i miei valgono meno di quelli di M. e di E.G,
complimenti what!!! :wink:

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elianto84
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Contazzi

Messaggio da elianto84 » 04 giu 2005, 15:10

Yeah! Contazzi!

Fissiamo il riferimento
A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) P(a,b)

Coefficienti angolari e coeff.ang. delle rette associate

AP b / a ---> r -a / b
BP b / (a-1) ---> r[c] (a-1) / b
CP (1-b) / (1-a) ---> r[d] (1-a) / (b-1)
DP (b-1) / a ----> r[a] a / (1-b)

Candidato punto di intersezione (intersezione tra r[a] e r)

Q ( (1-b) ; a )

basta verificare (sempre con i coeff. angolari) che Q giace pure
su r[c] ed r[d] ed abbiamo finito.

(ma che fatica!)
Jack alias elianto84 alias jack202

http://www.matemate.it IL SITO

.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -

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