OliForum Matematico

la forma vuole che questo problema sia in questo thread... spiacente per i puristi della geometria, però...

dato un triangolo di perimetro $ 2p $, area $ A $, inscritto in una circonferenza di raggio $ R $, massimizzare $ \displaystyle{\frac{Ap}{R^3}} $.

sono di seconda e colgo l'occasione epr imaprare cose nuove... cosa vuol dire massimizzare???

Vuol dire determinare il valore massimo che può assumere.

uhm, forse ci ho messo troppo a scrivere la risposta, ma visto che mi sembrava argomento degno di qualche parola in più e soprattutto della sezione Glossario e teoria di base, ecco qui :
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... 7885#37885

in effetti massimizzare $ \frac {Ap}{R^3} $ non è una cosa molto geometrica.
Innanzitutto leviamoci di torno $ R^3 $ esprimendo i lati $ a,b,c $ come $ R\sin(\alpha),R\sin(\beta),R\sin(\gamma) $ troviamo che dobbiamo massimizzare $ \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)(\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)) $ e, volendo, possiamo risolvere con jensen osservando che $ \sin(x) $ è convessa in $ [0,\pi] $ e quindi abbiamo $ \sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)\leq \frac{3 \sqrt{3}}2 $. Osservando che anche $ \ln(\sin(x)) $ è convessa in$ [0,\pi] $ e quindi abbiamo $ \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) \leq \frac{3 \sqrt{3}}8 $. Entrambe le uguaglianze ci sono quando il triangolo è equilatero e quindi abbiamo in generale $ \frac {Ap}{R^3} \leq \frac {27}8 $

Forse ho saltato qualche passaggio ma adesso non ho molto tempo, poi posto tutto il ragionamento, perchè così non è rigorosissimo