Bisettrici e incentro

[Simo_the_wolf]

1) Dimostrare che il triangolo DEF, dove D, E, F sono i punti d'incontro delle bisettrici del triangolo ABC con il suo circocerchio, è isoscele se e solo se ABC è isoscele

1b) Dimostrare che Area(DEF) $ \geq $ Area(ABC) e determinare in quali casi si ha l'uguaglianza

2) Chiamiamo A', B', C' i punti di tangenza dell'incerchio con il triangolo ABC (dove A' è su BC, B' su AC e C' su AB). Diciamo che le bisettrici che partono da B e da A incontrano la retta B'A' in D ed F. Dimostrare che DFC' è isoscele se e solo se ABC è isoscele

[thematrix]

1)LEMMA:in un triangolo ABC circoscritto,la bisettrice di uno degli angoli divide l'arco sotteso dal lato opposto in due parti uguali.

Consideriamo l'angolo BAC,e chiamiamo D l'intersezione della bisettrice con il cerchio.Poichè angoli alla circonferenza insistenti sulla stessa corda sono uguali,abbiamo che DAC = DBC e BAD = BCD.Poichè per ipotesi BAD = DAC,abbiamo che BCD = DBC,e quindi DB = DC.Poichè corde uguali sottendono archi uguali,la tesi è dimostrata.
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Ora,supponiamo che BAC sia isoscele in A,D sia sulla bisettrice di A,E su quella di B e F su quella di C.Per il lemma di cui sopra abbiamo che E e F sono i puntimedi degli archi AC e BC rispettivamente.Essendo questi due lati uguali per ipotesi,abbiamo che EA = FA.A questo punto,poichè AB=AC,la bisettrice di A divide BC in due parti uguali;inoltre,poichè AB = AC e BD = BC,abbiamo che il segmento AD fa parte dell'asse di BC,e quindi passa per il centro O della circonferenza.
Infine,poichè OE = OF e AE = AF,abbiamo che AD passa anche per l'asse di EF.Per quest'ultima affermazione si ha che ED = FD,e quindi il triangolo ottenuto è isoscele

[info]

(1b)

Con un pò di forze bruta, partendo dall'osservazione di alcuni angoli alla circonferenza uguali, ci si calcola le aree e ci si riduce alla dis:

sen(a+b)*sen(a+c)*sen(b+c)>=sen(2a)*sen(2b)*sen(2c)

ovvero cosa*cosb*cosc<=1/8... disuguaglianza che si risolve applicando la AM-GM e Jensen in serie...

Magari lavorando su dei triangoli simili si riesce a fare di meglio!

[Simo_the_wolf]

Ok e la prima parte è fatta... (per chi l'ha riconosciuto l' (1b) era nel PreIMO2004).
C'è qualcuno di buona volontà che risolve il 2°?

[sprmnt21]

2) Chiamiamo A', B', C' i punti di tangenza dell'incerchio con il triangolo ABC (dove A' è su BC, B' su AC e C' su AB). Diciamo che le bisettrici che partono da B e da A incontrano la retta B'A' in D ed F. Dimostrare che DFC' è isoscele se e solo se ABC è isoscele

Forse e' piu' facile provare che ABC e DFC' sono simili. Questo dipende dal fatto che C'D ed FD sono simmetriche rispetto a BD come lo sono anche AB e CB e quindi sono uguali gli angoli fra le coppie di rette (FD,AB) e (C'D, CB). Analogamente si ha per (FD,AB) e (FC',AC).


PS
volevo precisare che e' solo un suggerimento: ci sono ancora un po' di cose da spiegare e precisare.