Dodecagoni

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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thematrix
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Dodecagoni

Messaggio da thematrix » 24 mar 2005, 11:38

Questi due problemi li ho "trovati" interpretando male il testo di un vecchio IMO,ma sono abbastanza semplici.

1)Siano $ ABK,BCL,CDM,DAN $ triangoli equilateri costruiti al di fuori del quadrato $ ABCD $.Dimostrare che i punti medi dei lati $ KL,LM,MN,NK,AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN $ formano un dodecagono regolare.

2)Stessa domanda,ma i triangoli sono interni al quadrato.

Uno più impegnativo...

3)Tra tutti i poligoni convessi che si possono inscrivere in una data circonferenza trovare quello che ha massima la somma dei quadrati dei propri lati.

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hexen
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Re: Dodecagoni

Messaggio da hexen » 24 mar 2005, 12:56

thematrix ha scritto: 3)Tra tutti i poligoni convessi che si possono inscrivere in una data circonferenza trovare quello che ha massima la somma dei quadrati dei propri lati.
poligoni regolari?
se si:
La circonferenza ha raggio R

L'angolo al centro sotteso dalla corda uguale al lato di un poligono regolare di x lati inscritto è $ $$\vartheta = \frac{2 \pi}{x}$$ $

Tale lato l con il teorema di Carnot è tale che $ $$l^2 = 2R^2 \left (1-\cos \frac{2 \pi}{x} \right )$$ $

La funzione che esprime la sommad el quadrati dei lati è $ $$ S: x \in N \rightarrow S(x) \in R $$ $ è $ $$S(x) = 2R^2 x \left (1- \cos \frac{2 \pi}{x} \right )$$ $

Calcoliamo il massimo di S(x):
Notiamo che le soluzioni accettabili sono tutte le x naturali tali che $ $$ x \in [3;+\infty)$$ $ a causa della situazione geometrica del problema.

Studiando la derivata S'(x) o guardando il grafico notiamo che da x=3 in poi S(x) è decrescente, quindi la soluzione cercata è 3, quindi il triangolo equilatero.

è giusto?
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thematrix
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Messaggio da thematrix » 24 mar 2005, 13:00

beh,riguardo ai poligoni regolari il risultato è giusto...rimane aperta la questione per il caso generale
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Boll
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Messaggio da Boll » 24 mar 2005, 13:56

Mmh, mi pare una disuguaglianza "travestita". Proviamo:

Mandiamo attraverso un omotetia la notra circonferenza in quella di raggio unitario (tanto i rapporti tra lunghezze rimangono invariati, e quindi anche i quadrati). Prendiamo il nostro ipotetico $ n $-agono, tiriamo dal centro della circonferenza i segmenti che vanno verso i vertici del poligono, chiamiamo $ \alpha_i $ le partizioni dell'angolo al centro. Avremo che, per il teorema di Carnot, la roba da massimizzare è:
$ \displaystyle 2n-2\left( \sum_ {i=1}^{n}\cos(\alpha_i)\right) $
Per Jensen troviamo che il minimo di $ \displaystyle \sum_ {i=1}^{n}\cos(\alpha_i) $ è $ \displaystyle n\cos\left\frac{2\pi}{n} $ ( in questo caso si assume che la figura sia un poligono regolare). Quindi ci rimane da massimizzare
$ \displaystyle 2n-2n\cos\left\frac{2\pi}{n} $
Questa simpatica funzione è decrescente e lo si prova porvando che $ f(n+1)<f(n) $ se $ n>4 $ con un bel pò di simpatici conti che ora non sto qui a postare. Facendo ora a mano i casi 3 e 4 trovo che il massimo è il triangolo e, avendo precedentemente supposto le figure poligoni regolari, tale triangolo è equilatero.
Ultima modifica di Boll il 24 mar 2005, 14:53, modificato 2 volte in totale.

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Messaggio da thematrix » 24 mar 2005, 14:04

É giusto!!!
Io avevo trovato una soluzione ancora diversa...
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