Teorema di Pappo

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Poliwhirl
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Teorema di Pappo

Messaggio da Poliwhirl » 09 mar 2005, 15:42

Oggi mi sono imbattuto in questo:
Teorema di Pappo
Enunciato #1: Dato un triangolo $ ABC $, sopra un suo lato $ AB $ si costruisca un parallelogrammo $ ABDE $, in modo che il punto $ C $ sia interno alla striscia limitata dalle rette $ AE $ e $ BD $. A questo parallelogrammo equivale la somma di due parallelogrammi qualunque, costruiti sui lati $ AC $ e $ BC $ e aventi i lati rispettivamente opposti ad $ AC $ e $ BC $ che passano per $ E $ e $ D $.
Su, dimostrate. 8) Non è difficilissimo; esiste anche un secondo enunciato che poi, appena avrò tempo, posterò.

Bye,
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Messaggio da Poliwhirl » 11 mar 2005, 18:59

Questo esercizio è qui da più di due giorni e ancora nessuno si è prestato a risolverlo? :roll: Vabbé, se nessuno lo risolve, presto darò un aiutino...intanto aggiungo questo:
Teorema di Pappo
Enunciato #2: Sui due lati $ AB $ e $ AC $ di un qualunque triangolo $ ABC $ si costruiscano due parallelogrammi qualsiasi $ ABDE $ e $ ACGF $ e si prolunghino i lati $ DE $ e $ GF $ fino al loro punto di intersezione $ H $. Si costruisca il parallelogrammo $ BCIL $ che ha per lati $ BC $ e $ BL $, con $ BL $ parallelo e isometrico ad $ AH $. Dimostrare che risulta: $ ABDE+ACGF=BCIL $.

Forza che sono semplici! Bisogna trovare solo il giusto teorema da applicare... :)

Bye,
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Boll
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Messaggio da Boll » 11 mar 2005, 19:29

Proviamo con l'1. Prendo il mio triangolo $ ABC $ e applico ad esso una traslazione di vettore $ \overrightarrow{v}=AE=BD=CF $. Per la traslazione $ EFD(triangolo)=ABC(triangolo) $ quindi la tesi diventa banale poichè parallelogrammi di altezza e base uguale hanno area uguale.


Immagine
Ultima modifica di Boll il 11 mar 2005, 19:33, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da Poliwhirl » 11 mar 2005, 19:58

Ok, Boll. Potevi scrivere qualche altro passaggio alla fine; è un esercizio elementare rivolto soprattutto ai più giovani, meglio evidenziare tutti i passaggi logici; ok, complemento io:
Poiché i triangoli $ ABC $ e $ EDF $ sono congruenti per la translazione, segue che:
$ BC=DF $ e $ CF=BD $ quindi il quadrilatero $ BCFD $ è un parallelogramma;
$ AC=EF $ e $ AE=CF $ quindi il quadrilatero $ ACFE $ è un parallelogramma;
Chiamiamo $ G $ il punto di intersezione tra $ CF $ e $ ED $; chiamiamo $ H $ il punto di intersezione tra il prolungamento del segmento $ CF $ e il lato $ AB $; notiamo che $ AHGE+HBDG=ABDE $;
Per il teorema enunciato da Boll secondo cui parallelogrammi di base e altezza uguale hanno area uguale abbiamo: $ AHGE=ACFE $ e $ HBDG=CBDF $; quindi sostituendo nella relazione precedentemente trovata otteniamo $ ABDE=ACFE+CBDF $ e la tesi è dimostrata.

Sono stato un bel pò più lungo di Boll, ma per esperienza personale ( :roll: ) so che spiegazioni più dettagliate aiutano molto il giovane che si avvicina al problem solving... :)

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Messaggio da Poliwhirl » 29 mar 2005, 16:46

up!
Poliwhirl ha scritto: Teorema di Pappo
Enunciato #2: Sui due lati $ AB $ e $ AC $ di un qualunque triangolo $ ABC $ si costruiscano due parallelogrammi qualsiasi $ ABDE $ e $ ACGF $ e si prolunghino i lati $ DE $ e $ GF $ fino al loro punto di intersezione $ H $. Si costruisca il parallelogrammo $ BCIL $ che ha per lati $ BC $ e $ BL $, con $ BL $ parallelo e isometrico ad $ AH $. Dimostrare che risulta: $ ABDE+ACGF=BCIL $.

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