rettangoli ed equilateri

[EvaristeG]

Sia ABCD un rettangolo; siano ABP e BCQ triangoli equilateri. Rispetto alla retta su cui giace AB, i punti P, C,D stanno dalla stessa parte; allo stesso modo, rispetto alla retta su cui giace BC, i punti Q,A,D stanno dalla stessa parte.
Sia X l'intersezione (diversa da D) del perimetro di ABCD con la retta per D e Q e sia Y l'intersezione (diversa da D) del perimetro di ABCD con la retta per D e P.

Dimostrare che DXY è equilatero.

NOTA : Nonostante il testo molto lungo, il problema non è difficile; servono solo conoscenze elementari sui triangoli e un po' di buona volontà. Può essere un utile esercizio per chi ancora non ha trovato una convivenza pacifica con Euclide, Talete, Pitagora e compagnia.

[AlessandroSfigato]

Rispetto alla retta su cui giace AB, i punti P, C,D stanno dalla stessa parte; allo stesso modo, rispetto alla retta su cui giace BC, i punti Q,A,D stanno dalla stessa parte.

significa semplicemente che la retta AB divide il piano in 2 semipiani e che P,C,D, appartengono allo stesso semipiano e stessa cosa per BC oppure qualcos'altro?

[Marco]

oppure qualcos'altro?

No. Direi che la tua interpretazione è corretta.

[AlessandroSfigato]

beh innanzi tutto perke il problema sia possibile bisogna porre che se AB è il lato maggiore BC - AB(per radice di 3)diviso2 > O altrimenti i segmenti le semirette DQ e DP nn incrociano il quadrilatero se non in D.
Dopo di che la soluzione che ho trovato io è estremamente grezza, e cioè ponendo AB e BC come costanti mi sono tovato i lati del triangolo DXY( che si scopre esere tutti congruenti) con procedimenti del tutto elementari (senza neanke uso della trigonometria) e per questo credo che non valga neanke la pena postarli.
Vorrei sapere se esiste una soluzione coe faccia uso di

Euclide, Talete, Pitagora e compagnia.

come diceva evaristeg.

[sprmnt21]

Posta, posta. A maggior ragione se non usi trigonometria.

Esiste almeno una soluzione che fa uso solo di Talete (e poco piu') ed e' valida anche nel caso di genererici parallelorìgrammi al posto del rettangolo.

[AlessandroSfigato]

vabbe l'avete voluto voi, mo ve bekkate una dimostrazione senza latex:
Allora tracciamo una retta parallela a CB che passi per P ed intersechi il lato CD in W. Per il teorema di TALETE (contenti ho detto TALETE) dato che CW = WD (in un triangolo isoscele bisettrice = mediana = altezza) allora DP = PX quindi DX = 2DP.
DP(alla seconda)= (AB/2)alla seconda più (CD-AB(per radice di 3)(diviso 2))(alla seconda) poichè l'altezza del triangolo equilatero ABP è AB per radice di tre fratto 2, e PW sarà la differenza tra l'altezza e CD (ovviamente ho usato pitagora). Nsomma viene fuori che DX alla seconda = 4(AB(alla seconda) piu CD(alla seconda) piu ABperCD(radice di 3)).
Con lo stesso identico procedimento si ricava DY che viene uguale a DX. Poi si ricava XY facilmente facendo, chiamato Z il punto medio di DA, (CB-2PW)(ALLA SECONDA) piu (AB-2QZ)(ALLA SECONDA) e risulta tutto uguale a DX.

[EvaristeG]

Beh, non potevo dire esattamente cosa serviva ... altrimenti era troppo facile. Ho messo Euclide per depistare.

[AlessandroSfigato]

credo di nn aver mai usato euclide in tutta la mia vita... ho sempre trovato come farne a meno usando pitagora e le similitudini

[EvaristeG]

Beh, Euclide è una similitudine.
Tanto per fare i pignoli :
Teoremi di Euclide
Sia $ ABC $ un triangolo rettangolo in $ A $ e sia $ H $ il piede della perpendicolare tracciata da $ A $ sull'ipotenusa $ BC $.
Allora :
1) $ AB^2=BH\cdot BC \qquad AC^2=CH\cdot BC $
2) $ AH^2=BH\cdot HC $

Il primo punto afferma che il triangolo $ ABC $ è simile sia a $ ACH $ che $ ABH $; il secondo punto afferma che i due triangoli $ ACH \textrm{ e } ABH $ sono tra loro simili.

Quindi, direi che utilizzare Euclide è solo ricordarsi direttamente un'uguaglianza che viene dalla similitudine di tre triangoli.