OliForum Matematico

Allora ... consideriamo un traingolo ABC; sia N il suo punto di Nagel (se non ricordate/sapete che cos'è, vedete alla fine del post). Siano D,E,F i punti medi dei segmenti AN, BN, CN; siano M,L,K i punti medi di AB, BC, CA.
Dimostrare che il cerchio inscritto di MLK e il cerchio inscritto di DEF coincidono.
Tale circonferenza viene detta cerchio di Spieker.
Dimostrare inoltre che il centro del cerchio di Spieker è il punto di concorrenza dei tre assi radicali dei tre cerchi exscritti.

(bene, credo che ci sia abbastanza carne al fuoco da promettere a questo problema un subitaneo oblio, in un modo o nell'altro).

Buona Risoluzione

NOTE :

Punto di NAGEL : Consideriamo il cerchio exscrtitto (se non ricordate/sapete cos'è, vedete in seguito) opposto al vertice A e chiamiamo R la sua tangenza con CB; similmente definiamo S, T come le tangeze degli excerchi opposti a B,C con AC, BA rispettivamente. I segmenti AR, BS, CT concorrono in un punto chiamato punto di Nagel.

Cerchio EXSCRITTO : dato un triangolo ABC, si dimostra che esiste ed è unico un cerchio che tange propriamente (in un punto compreso tra gli estremi) il lato AB, mentre tange sui loro prolungamenti i lati BC,CA (e similmente per ogni permutazione ciclica delle lettere A,B,C).

bhe, si dimostra facilmente con i corollari del Teorema di Talete che MLK e DEF sono uguali ed hanno i lati corrispondenti paralleli ma non sono riuscita a fare nient'altro !!!

Ho notato che i segmenti che congiungono i vertici corrispondenti concorrono in un unico punto, che è il centro della circonferenza che devo dimostrare essere unica e che questi segmenti sono esattamente le bisettrici degli angoli.
Questo punto è anche il centro di simmetria dei due triangoli ma..........

....come si dimostra????

Io procederei cosi (do' solo il "progetto" di una possibile soluzione):

1a) Essendo ABC e DEF omotetici di centro N e rapporto 1/2, N e' il punto di Nagel anche per DEF;

1b) anche ABC ed KLM sono omotetici di centro G (baricentro) e rapporto -1/2;

2) si usa il fatto (da provare eventualmente) che in un triangolo N, G ed I (incentro) sono allineati in quest'ordine e NG = 2GI;

3a) quindi (.1a) abbiamo per che Gn (il baricentro di DEF) e' il punto medio di NG; percio (.2) In (l'incentro di DEF) sta in modo che NGn = 2GnIn;

3b) quindi (.1b) G e' anche il baricentro di KLM cioe' Gg==G e Ig sta dalla parte opposta di I rispetto a G a distanza tale che GI = 2GIg; per il (.2) NG = 2GI;

4) facendo una semplice verifica si vede che In==Ig.