Inviato: 27 feb 2005, 19:06
Io ho una soluzione un po' arificiosa ma è la più sintetica che ho trovato...
Per ogni triangolo isoscele con i lati obliqui più lunghi della base definiamo una funzione $ f(\alpha)=\frac{\alpha}{\beta} $. Ovviamente $ f(\alpha_1)=f(\alpha_2) \rightarrow \alpha_1=\alpha_2 $. Prendiamo il triangolo tale che $ f(\alpha)=2 $ cioè t.c. $ \alpha=2\beta $. Vogliamo dimostrare che questo è il triangolo è quello cercato. Chiamiamo H il piede dell'altezza relativa a BC.Per il teorema dei seni applicato ai triangoli DAB e AHB otteniamo:
$ \displaystyle \frac{\sin(\beta)}{\overline{AD}}=\frac{\sin(\pi-3\beta)}{\overline{AB}} $
$ \displaystyle \frac{\sin(\beta)}{\overline{CD}}=\frac{\sin(\frac{\pi}2)}{\overline{AB}} $
Ma sappiamo che $ \overline{AD}=2\overline{CD} $. Sostituendo troviamo: $ \sin(3\beta)=\frac 12 $ e quindi $ \alpha=2\beta=\frac 29 \pi $. L'ultimo passaggio è ovviamente con tutte le restrizioni del caso ( $ \alpha < \frac {\pi}3 $)
Per ogni triangolo isoscele con i lati obliqui più lunghi della base definiamo una funzione $ f(\alpha)=\frac{\alpha}{\beta} $. Ovviamente $ f(\alpha_1)=f(\alpha_2) \rightarrow \alpha_1=\alpha_2 $. Prendiamo il triangolo tale che $ f(\alpha)=2 $ cioè t.c. $ \alpha=2\beta $. Vogliamo dimostrare che questo è il triangolo è quello cercato. Chiamiamo H il piede dell'altezza relativa a BC.Per il teorema dei seni applicato ai triangoli DAB e AHB otteniamo:
$ \displaystyle \frac{\sin(\beta)}{\overline{AD}}=\frac{\sin(\pi-3\beta)}{\overline{AB}} $
$ \displaystyle \frac{\sin(\beta)}{\overline{CD}}=\frac{\sin(\frac{\pi}2)}{\overline{AB}} $
Ma sappiamo che $ \overline{AD}=2\overline{CD} $. Sostituendo troviamo: $ \sin(3\beta)=\frac 12 $ e quindi $ \alpha=2\beta=\frac 29 \pi $. L'ultimo passaggio è ovviamente con tutte le restrizioni del caso ( $ \alpha < \frac {\pi}3 $)