Raduna la tua squadra #2 - Problema 14

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Mattysal
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Raduna la tua squadra #2 - Problema 14

Messaggio da Mattysal » 23 ago 2020, 19:29

Sia $ABC$ un triangolo con $AB=16, BC=24, CA=32$.
Sia $P$ un punto sul lato $AB$ e $Q$ un punto sul lato $AC$ tali che $BP=CQ=8$.
Le rette $BQ$ e $CP$ si intersecano in $X$, le circonferenze circoscritte ai triangoli $BPX$ e $CQX$ siano secanti in $X,Y$ con $X \neq Y$.
Detta $Z$ l'intersezione tra $AY$ e la retta $BC$ calcolare $BZ^2$.

ricarlos
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Re: Raduna la tua squadra #2 - Problema 14

Messaggio da ricarlos » 02 set 2020, 04:28

Testo nascosto:
$(BXP) \cong (CXQ)$ (1), perché $BP = CQ$ e $\angle BXP = \angle CXQ$. (teorema del seno)

Sia $A'$ il riflesso di $A$ rispetto a $B$, allora $AA' = AC =32$. Sia $M$ il punto medio di $CA'$.

Quindi per (1) $\angle YCX = \angle YPX$, quindi $CPY$ è un isoscele, $CY = PY$ (2),
lo stesso $\angle YQX = \angle YBX$, quindi $QBY$ è un isoscele, $QY = BY$. (3)

A consecuenza da (2), (3) e BP=CQ abbiamo $\Delta CQY \cong \Delta PBY \rightarrow \angle YCQ =\angle YPB$.

Sia $h1, h2$ le altezze, uscente da $Y$, dei triangoli CQY y PBY, rispettivamente. $sin(\angle YCQ)*CY = sin(\angle YPB)*PY = h1 = h2$.

Allora $Y$ (e Z) è un punto sull'altezza, $AM$, del triangolo isoscele $AA'C$.

Con il teorema di Menelao, nel triangolo $BCA'$ e la trasversale $MZA$ abbiamo,

$\frac{A'M}{MC}\frac{CZ}{BZ}\frac{AB}{AA'}=1= 1\frac{CZ}{BZ}\frac{16}{32}\rightarrow \frac{CZ}{BZ} = 2$

$BZ = \frac{CZ}{2} = \frac{24-BZ}{2} = 12- \frac{BZ}{2} \rightarrow \frac{3BZ}{2}=12$, $BZ = 8 \rightarrow BZ^2 = 64$
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