Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
elio02
Messaggi: 4
Iscritto il: 20 ago 2020, 19:46

Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da elio02 » 20 ago 2020, 20:01

preso dagli esercizi di autovalutazione della normale

Mattysal
Messaggi: 188
Iscritto il: 06 feb 2018, 14:54
Località: Oria (BR)
Contatta:

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da Mattysal » 21 ago 2020, 10:49

Mi sa che l'ho bucato, però questa è la prima soluzione che mi viene in mente.
Testo nascosto:
Consideriamo il piano dei numeri complessi e una circonferenza di centro $1$ centrata nell'origine. Le radici del polinomio $P_n(x)=x^n-1$ sono rappresentate su tale piano come i vertici di un n-agono regolare inscritto in una circonferenza di centro $1$.
Ma per Viète la somma delle radici vale $0$, da cui la tesi. (?)

Luca Milanese
Messaggi: 57
Iscritto il: 28 mag 2019, 19:32
Località: Borgo Hermada, Terracina (LT)

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da Luca Milanese » 21 ago 2020, 11:39

Propongo una soluzione "fisica".
Testo nascosto:
Mettiamo una massa [math] uguale in ogni vertice. Poichè il poligono è regolare, il baricentro di questo sistema si trova al centro del poligono, cioè nell'origine. Segue che il sistema di riferimento scelto coincide con quello del centro di massa. Ma allora si ha per definizione:
[math]
Da cui la tesi.

Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 603
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Genova
Contatta:

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da FrancescoVeneziano » 21 ago 2020, 13:04

Ricordate sempre di leggere con attenzione il testo. Senza l'ipotesi che l'origine si trovi nel centro del poligono, l'enunciato è falso. Elio02 ha probabilmente ricopiato il testo in modo impreciso e voi avete risposto alla domanda originale.

Alla soluzione di Mattysal manca qualcosa; ci sono tanti n-agoni regolari diversi che hanno centro nell'origine e differiscono per dilatazioni e rotazioni, e va precisato (o almeno menzionato) perché basta considerare solo quello formato dalle radici di $ x^n-1 $.

L'argomentazione di Luca è un po' circolare. L'affermazione "Poichè il poligono è regolare, il baricentro di questo sistema si trova al centro del poligono, cioè nell'origine." è sostanzialmente equivalente alla tesi, e deve essere motivata. A volte non è ben chiaro cosa si possa dare per buono in una soluzione e cosa no, ma una buona regola a spanne e che enunciati dai quali la tesi discende immediatamente non si possono dare per buoni.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Luca Milanese
Messaggi: 57
Iscritto il: 28 mag 2019, 19:32
Località: Borgo Hermada, Terracina (LT)

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da Luca Milanese » 21 ago 2020, 13:24

Essendo necessaria l'ipotesi che il centro del poligono coincida con l'origine, e poichè in un poligono regolare circocentro, baricentro, incentro ecc... coincidono, ho pensato di poter dare per scontato questo fatto. Altrimenti, bisognerebbe specificare in quale centro del poligono sappiamo essere posta l'origine, e il problema diventa quindi dimostrare che il baricentro coincide col centro dell'ipotesi. Mi sbaglio?

Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 603
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Genova
Contatta:

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da FrancescoVeneziano » 21 ago 2020, 13:40

Luca Milanese ha scritto:
21 ago 2020, 13:24
e poichè in un poligono regolare circocentro, baricentro, incentro ecc... coincidono
E questo è precisamente il punto dell'esercizio. Dimostrare che il centro geometrico (definiamolo pure come il centro della circonferenza circoscritta) coincide col baricentro (definiamolo come la media dei vertici visti come vettori nel piano). Nota anzi come questa affermazione sia piú forte della tesi dell'esercizio, che ne è un caso particolare quando il centro è nell'origine.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Mattysal
Messaggi: 188
Iscritto il: 06 feb 2018, 14:54
Località: Oria (BR)
Contatta:

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da Mattysal » 21 ago 2020, 14:40

FrancescoVeneziano ha scritto:
21 ago 2020, 13:04
Alla soluzione di Mattysal manca qualcosa; ci sono tanti n-agoni regolari diversi che hanno centro nell'origine e differiscono per dilatazioni e rotazioni, e va precisato (o almeno menzionato) perché basta considerare solo quello formato dalle radici di $ x^n-1 $.
Chiaro :) quindi bastava specificare quello, e basta, credo

emmeci
Messaggi: 3
Iscritto il: 13 ago 2020, 10:21

Re: Dimostrare che la somma dei vettori che vanno dall’origine ai vertici di un poligono regolare di n lati fa 0.

Messaggio da emmeci » 29 ago 2020, 09:29

Alle soluzioni precedenti aggiungo "Per simmetria" e lo specifico meglio.
Se la somma non fosse zero, avrebbe una direzione rispetto ad un sistema di riferimento solidale col poligono. Detto n il numero dei lati, facendo ruotare il poligono attorno al centro di un ennesimo di angolo giro, questa direzione dovrebbe contemporaneamente cambiare (perché solidale col poligono) e restare invariata (perché il poligono non cambia), e questo è impossibile.

Rispondi