IMO vecchio personalizzato

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Mattysal
Messaggi: 188
Iscritto il: 06 feb 2018, 14:54
Località: Oria (BR)
Contatta:

IMO vecchio personalizzato

Messaggio da Mattysal » 03 lug 2020, 01:04

Sia $ABC$ un triangolo e consideriamo la circonferenza $\omega_B$ passante per $B$ e tangente ad $AC$ in $A$ e la circonferenza $\omega_C$ passante per $C$ e tangente ad $AB$ in $A$.
$\omega_B$ interseca $BC$ nuovamente in $P$ e $\omega_C$ interseca $BC$ nuovamente in $Q$.
Siano $P’$ e $Q’$ rispettivamente i simmetrici di $A$ rispetto a $P, Q$.
Sia infine $s$ la simmediana uscente da $A$ ossia la retta simmetrica della mediana uscente da $A$ rispetto alla bisettrice di $\widehat{BAC}$.
Dimostrare che $s, BQ’, CP’$ concorrono.

LucaMac
Messaggi: 178
Iscritto il: 14 set 2014, 19:59
Località: Napoli

Re: IMO vecchio personalizzato

Messaggio da LucaMac » 03 lug 2020, 23:27

#PiùBaricentricheSulForum

Di seguito quelle che, se non ho sbagliato i conti, sono le coordinate ed equazioni del problema.
Potrebbe essere istruttivo scrivere una soluzione completa.
Testo nascosto:
$A=(1,0,0);B=(0,1,0);C=(0,0,1)$.
$\omega_B : \sum\limits_{cyc} a^2yz = (x+y+z)b^2z$ e $\omega_C : \sum\limits_{cyc} a^2yz = (x+y+z)c^2y$.
$P=(0,b^2,a^2-b^2); Q=(0,a^2-c^2,c^2)$.
$P'=(-a^2,2b^2,2a^2-2b^2);Q'=(-a^2,2a^2-2c^2,2c^2)$.
$BQ': 2xc^2+a^2z = 0$ e $CP': 2xb^2+a^2y=0$
$s: yc^2=zb^2$.
E boh concorrono in $(-a^2,2b^2,2c^2)$.
"And if we want to buy something to drink?"
"Just go to 7-11"
-----------------------------------
"Why an inequality?"
"Inequality happens"

Carlo42
Messaggi: 21
Iscritto il: 23 gen 2019, 22:17

Re: IMO vecchio personalizzato

Messaggio da Carlo42 » 04 lug 2020, 10:59

Testo nascosto:
Chiamiamo [math] la trasformazione data dalla composizione dell'inversione di centro [math] e raggio [math] e la simmetria rispetto alla bisettrice di [math].
Come è noto [math] e [math],
[math] e [math]. Dunque, poiché l'inversione manda circonferenze per il centro in rette e il centro nel punto all'infinito, [math] sarà la retta parallela ad [math] passante per [math] e analogamente [math] sarà la retta parallela ad [math]passante per [math]. Inoltre [math] sarà la circonferenza per [math], [math] e [math], dunque sarà la circoscritta ad [math].
[math] sarà quindi l'intersezione fra la circoscritta e la retta per [math] parallela ad [math]. Inoltre, poiché [math], [math] sarà il punto medio di [math] e dunque
[math] sarà la circonferenza per [math], [math] e il punto medio di [math]. Ma [math] è un trapezio isoscele, dunque [math] passerà per il punto medio di [math]. Allo stesso modo [math] passerà per il punto medio di [math] e dunque, invertendo al contrario, si ottiene che le rette [math] e [math] concorrono con l'immagine della mediana uscente da [math] in [math], che è proprio la simmediana.


Rispondi