teorema di Pitagora

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symonmasini79
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teorema di Pitagora

Messaggio da symonmasini79 » 02 apr 2020, 12:33

secondo voi come è stato scoperto il teorema di Pitagora? mi spiego: il conteggio con i quadretti è una verifica a posteriori, come

si è capito che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa?

è stata utilizzata qualche costruzione particolare? magari in qualche manoscritto..... :D

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elianto84
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Re: teorema di Pitagora

Messaggio da elianto84 » 13 nov 2020, 19:50

Presumo con considerazioni dimensionali ed algebriche, anche senza la comodità della notazione moderna. Tutti i triangoli rettangoli con cateti di lunghezze $a$ e $b$ sono congruenti, dunque *deve* esserci un modo di ricavare la lunghezza dell'ipotenusa $c$ solo in termini di $a$ e $b$, diciamo $c=f(a,b)$. Chiaramente questa funzione deve essere simmetrica, $f(a,b)=f(b,a)$, e dev'essere omogenea, $f(\lambda a,\lambda b)=\lambda c$ per ogni $\lambda > 0$. Inoltre $f(a,b)$ deve rispettare i vincoli dati dalla disuguaglianza triangolare e i casi degeneri $f(a,0)=f(0,a)=a$. Supponendo ora che il creatore non sia stato troppo malvagio nei nostri confronti, ci sono poche possibilità da passare al vaglio in questo esperimento mentale. Che $f(a,b)$ sia della forma $k(a+b)$ per qualche costante universale $k>0$ è una tesi che si rigetta facilmente. Se $f$ dipende da un polinomio omogeneo di secondo grado, questo deve comparire sotto un segno di radice, poiché $a,b,c$ sono tutte lunghezze e non aree. Si arriva rapidamente alla congettura $c=\sqrt{a^2+b^2}$, che sappiamo essere dimostrabile in svariati modi, tra cui "trust your own eyes and the properties of the area": http://elianto84.altervista.org/AniPita.gif

Dal punto di vista storico è pressoché certo che il Teorema di Pitagora fosse conosciuto e applicato ben prima dell'avvento della scuola pitagorica, già dai Babilonesi (pertanto, più che di manoscritti parliamo di tavolette). La scuola pitagorica predicava il "tutto è numero", nel senso di "qualunque numero è razionale": con la consapevolezza appena acquisita forse non fa più ridere che il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, determinabile con il Teorema di Pitagora, smentisca il fatto che "tutto è numero" nella precedente accezione filosofica. Di certo non è complicato congetturare che valga $c^2=a^2+b^2$ se si "trovano in natura" dei rettangoli con lati proporzionali a $3$ e $4$ (o $5$ e $12$) e se ne misura la lunghezza della diagonale.
Jack alias elianto84 alias jack202

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