Perpendiculì perpendiculà

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Doxeno
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Perpendiculì perpendiculà

Messaggio da Doxeno » 07 mar 2019, 23:02

Sia ABC un triangolo, Gamma la sua circonferenza circoscritta, H il suo ortocentro, M e N i punti medi di, rispettivamente, AB e AC. Siano ora P e Q le intersezioni delle semirette MH e NH con Gamma. PQ e MN si intersecano in R.
Dimostrare che AR è tangente a Gamma.

Parmenide
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Re: Perpendiculì perpendiculà

Messaggio da Parmenide » 09 mar 2019, 22:30

Siccome i simmetrici dell'ortocentro rispetto ai punti medi dei lati del triangolo stanno sulla circoscritta, si ha, detti $H_1,H_2$ i simmetrici di $H$ rispetto a $M,N$, che $HH_1\cdot HP=HH_2\cdot HQ$ per il teorema della corda.
Questo implica $2MH\cdot HP=2HN\cdot HQ$ e quindi $HM\cdot HP=HN\cdot HQ$, quindi $MNPQ$ è ciclico.

Inoltre si ha che $\circ AMN$ è tangente a $\Gamma$, in quanto l'omotetia di centro $A$ e fattore 2 manda $M$ in $B$ e $N$ in $C$, quindi manda $\circ AMN$ in $\Gamma$.

Ora $MN$ è asse radicale tra $\circ AMN$ e $\circ MNPQ$, mentre $PQ$ è asse radicale di $\circ MNPQ$ e $\Gamma$.
Dunque $R=MN\cap PQ$ sta sull'asse radicale tra $\circ AMN$ e $\Gamma$, che per quanto detto è proprio la tangente a $\Gamma$ per $A$.

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