Perpendicolare

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Saro00
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Perpendicolare

Messaggio da Saro00 » 14 feb 2019, 20:56

Sia $ABCD$ un quadrilatero ciclico e sia $E$ il punto medio di $BC$. La perpendicolare a $BC$ passante per $E$ interseca $AB$ in $X$. La perpendicolare a $AD$ per $E$ interseca $CD$ in $Y$. Dimostrare che $XY$ è perpendicolare a $CD$.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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Leonhard Euler
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Re: Perpendicolare

Messaggio da Leonhard Euler » 15 feb 2019, 16:40

Siano [math] e [math].
I triangoli [math] e [math] sono simili, infatti [math] in quanto angoli opposti al vertice, [math], nell'uguaglianza si è sfruttato il perpendicolarismo fra [math] e [math], fra [math] e [math] e la ciclicità del quadrilatero [math]. Pertanto [math].
Il triangolo [math] è isoscele di base [math], dato che [math] ed [math] perpendicolare a [math], quindi: [math].
In definitiva [math], ovvero il quadrilatero [math] è ciclico, da cui discende il perpendicolarismo fra [math] e [math].
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

Parmenide
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Re: Perpendicolare

Messaggio da Parmenide » 15 feb 2019, 22:13

Complessi con $\circ ABCD$ circonferenza unitaria, quindi $\displaystyle{\overline{a}=\frac{1}{a}}$.

$\displaystyle{E=\frac{b+c}{2}}$

$\displaystyle{AB: \frac{z-a}{\overline{z}-\overline{a}}=\frac{a-b}{\overline{a}-\overline{b}}=-ab}$ quindi $AB: z=-ab\overline{z}+a+b$

$CD: z=-cd\overline{z}+c+d$ similmente.

Perpendicolare a $BC$ per $E$: $\displaystyle{\frac{z-\frac{b+c}{2}}{\overline{z}-\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}}=-\left(\frac{b-c}{\overline{b}-\overline{c}}\right)=bc}$ da cui $z=bc\overline{z}$

Perpendicolare ad $AD$ per $E$: $\displaystyle{\frac{z-\frac{b+c}{2}}{\overline{z}-\frac{\overline{b}+\overline{c}}{2}}=-\left(\frac{a-d}{\overline{a}-\overline{d}}\right)=ad}$ da cui $\displaystyle{z=ad\overline{z}+\frac{b+c-a\overline{b}d-a\overline{c}d}{2}}$

Troviamo $X$ intersecando $AB$ con la perpendicolare a $BC$ per $E$: dall'equazione delle perpendicolare stessa si ha $\displaystyle{\overline{z}=\frac{z}{bc}}$, sostituendo nell'equazione di $AB$ e svolgendo i conti si ottiene $\displaystyle{X=\frac{ac+bc}{a+c}=\frac{2ac+2bc}{2(a+c)}}$

Facendo la stessa cosa con $Y$ si ricava $\displaystyle{Y=\frac{2ac+ad+bc+c^2-a\overline{b}cd}{2(a+c)}}$

La tesi è equivalente a $\displaystyle{\frac{Y-X}{\overline{Y}-\overline{X}}=-\left(\frac{c-d}{\overline{c}-\overline{d}}\right)=cd}$

Ora $\displaystyle{\frac{Y-X}{\overline{Y}-\overline{X}}=\frac{\frac{2ac+ad+bc+c^2-a\overline{b}cd}{2(a+c)}-\frac{2ac+2bc}{2(a+c)}}{\frac{2\overline{a}\overline{c}+\overline{a}\overline{d}+\overline{b}\overline{c}+\overline{c}^2-\overline{a}b\overline{c}\overline{d}}{2(\overline{a}+\overline{c})}-\frac{2\overline{a}\overline{c}+2\overline{b}\overline{c}}{2(\overline{a}+\overline{c})}}=\frac{ad-bc+c^2-a\overline{b}cd}{a+c}\cdot \frac{\overline{a}+\overline{c}}{\overline{a}\overline{d}-\overline{b}\overline{c}+\overline{c}^2-\overline{a}b\overline{c}\overline{d}}=\frac{ad-bc+c^2-a\overline{b}cd}{\overline{a}\overline{d}-\overline{b}\overline{c}+\overline{c}^2-\overline{a}b\overline{c}\overline{d}}\cdot \frac{1}{ac}=\frac{ad-bc+c^2-a\overline{b}cd}{c\overline{d}-a\overline{b}+a\overline{c}-b\overline{d}}}$

Ora è chiaro che moltiplicando il denominatore per $cd$ e sfruttando $a\overline{a}=1$ e cicliche si ottiene il numeratore, quindi tesi.

Saro00
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Re: Perpendicolare

Messaggio da Saro00 » 16 feb 2019, 11:59

:)
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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