Isotomici e isogonali sono allineati

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Talete
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Isotomici e isogonali sono allineati

Messaggio da Talete » 19 mag 2018, 14:51

Sia $ABC$ un triangolo. Costruiamo i triangoli $XBC$, $AYC$ e $ABZ$, esterni al triangolo $ABC$, in modo che siano isosceli sulle basi $BC$, $CA$ ed $AB$ e l'angolo alla base sia uguale a $\vartheta$ in tutti e tre i nuovi triangoli.
(a) Dimostrare che le rette $AX$, $BY$ e $CZ$ concorrono in un punto, detto $K_{\vartheta}$.
(b) Dimostrare che i coniugati isogonali dei vari $K_{\vartheta}$ (al variare di $\vartheta$) sono allineati sulla retta che passa per circocentro e punto di Lemoine del triangolo $ABC$.
(c) Dimostrare che i coniugati isotomici dei vari $K_{\vartheta}$ (al variare di $\vartheta$) sono allineati sulla retta che passa per baricentro e punto di Lemoine del triangolo $ABC$.
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Parmenide
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Re: Isotomici e isogonali sono allineati

Messaggio da Parmenide » 01 giu 2018, 17:30

Parte a:
Testo nascosto:
$ A[1;0;0], B[0;1;0], C[0;0;1] $ . Dal teorema del coseno segue che:

$ X[-a\sin \theta ; b\sin \left( \gamma +\theta\right); c\sin \left( \beta +\theta \right)] $

$ Y[a\sin \left( \gamma +\theta \right); -b\sin \theta ; c\sin \left( \alpha + \theta\right)] $

$ Z[a\sin \left( \beta+ \theta \right); b\sin \left(\alpha +\theta \right);-c\sin \theta] $


Le rette $ AX, BY, CZ $ sono dunque rispettivamente:

$ b\sin \left( \gamma +\theta \right) z -c\sin \left( \beta +\theta \right)y=0 $

$ c\sin \left( \alpha +\theta \right) x-a\sin \left( \gamma + \theta \right) z=0 $

$ a\sin \left( \beta + \theta \right) y -b\sin \left( \alpha +\theta \right) x=0 $

Esse sono concorrenti se e solo se il determinante della matrice dei loro coefficienti è nullo. Ora:

$ \begin{bmatrix}
0 & -c\sin \left( \beta +\theta \right) & b\sin \left(\gamma + \theta \right)\\
c\sin \left( \alpha +\theta \right) & 0 & -a\sin \left( \gamma +\theta \right)\\
-b\sin \left( \alpha +\theta \right) & a\sin \left( \beta + \theta \right) & 0
\end{bmatrix} =-abc \sin \left(\alpha +\theta\right) \sin \left( \beta +\theta\right) \sin\left( \gamma +\theta\right) +abc \sin \left(\alpha +\theta\right) \sin \left( \beta +\theta\right) \sin\left( \gamma +\theta\right)=0 $

Quindi $ AX,BY,CZ$ concorrono $ $ $ $ $ $ $ $ $ $
Parte b:
Testo nascosto:
Per trovare $K_{\theta}$ basta quindi intersecare due rette, per esempio $AX, BY$ trovando:

$K_{\theta}= [ac\sin \left( \beta +\theta \right) \sin \left( \gamma +\theta \right); bc\sin \left(\gamma +\theta \right) \sin \left(\alpha +\theta \right); c^2 \sin \left(\alpha +\theta \right) \sin \left( \beta +\theta \right) ]=[\displaystyle{\frac{ac}{\sin \left(\alpha +\theta \right)}; \frac{bc} {\sin \left( \beta +\theta \right)}; \frac{c^2}{\sin \left( \gamma +\theta\right)}}] $

A questo punto, se $P=[x;y;z]$ il suo coniugato isogonale è $P'=[a^2x^{-1};b^2y^{-1};c^2z^{-1}]$ e dunque

$K'_{\theta}=[a\sin \left( \alpha +\theta \right);b\sin \left( \beta +\theta \right); c\sin \left( \gamma +\theta \right)]$

Ora $L=[a^2;b^2;c^2], O[a^2S_A ; b^2S_B ; c^2S_C]$ quindi la retta $OL$ è

$b^2c^2 \left( S_C-S_B \right) x+a^2c^2 \left( S_A-S_C\right) y+ a^2b^2\left( S_B-S_A\right) z=0$

A questo punto $S_C-S_B=b^2-c^2$ e cicliche, pertanto la retta può essere riscritta come:

$b^2c^2\left( b^2-c^2\right) x+a^2c^2\left( c^2-a^2\right) y+a^2b^2\left( a^2-b^2\right) z=0$

Sostituendo le coordinate di $K'_{\theta}$ bisogna dimostrare che l'equazione è verificata. Procedendo alla sostituzione e semplificando si ottiene:

$bc\left(b^2-c^2\right) \sin \left(\alpha +\theta \right) +ac\left( c^2-a^2\right) \sin \left( \beta +\theta\right) +ab\left( a^2-b^2\right) \sin \left( \gamma +\theta \right)=0$

A questo punto raccogliamo i coefficienti di $\sin \theta$ e $\cos \theta$:

$\cos \theta \left( bc\sin \alpha \left(b^2-c^2\right) +ac\sin \beta \left( c^2-a^2\right) +ab\sin \gamma \left(a^2-b^2\right) \right)$

$\sin \theta \left( bc\cos \alpha \left(b^2-c^2\right) +ac\cos \beta \left(c^2-a^2\right) +ab\cos \gamma \left(a^2-b^2\right) \right)$


Il coefficiente di $\cos \theta$ diventa $S\left( b^2-c^2\right) +S\left(c^2-a^2\right) +S\left(a^2-b^2\right)$ dove $S=2[ABC]$, pertanto fa 0

Dal teorema del coseno si ottiene inoltre $ab\cos \gamma =\displaystyle{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}$ e cicliche, dunque sostituendo si ottiene che anche il coefficiente di $\sin \theta$ è 0, quindi l'equazione è verificata

Parte c:
Testo nascosto:
Se $P=[x;y;z]$ il suo coniugato isotomico è $P''=[x^{-1};y^{-1};z^{-1}]$ quindi

$K''_{\theta}=\displaystyle{[\frac{\sin \left(\alpha +\theta\right)}{a};\frac{\sin \left( \beta +\theta\right)}{b}; \frac {\sin \left(\gamma +\theta\right)}{c}]}$

Ora $L[a^2;b^2;c^2]$ e $G[1;1;1]$ e quindi la retta $GL$ è

$x\left( c^2-b^2\right) +y\left( a^2-c^2\right) +z\left( b^2-a^2\right)=0$

pertanto basta sostituire le coordinate di $K''_{\theta}$ e mostrare che l'equazione è verificata. Sostituendo e moltiplicando per $abc$ si ottiene:

$bc\left(c^2-b^2\right)\sin \left(\alpha +\theta\right) +ac\left(a^2-c^2\right) \sin \left(\beta +\theta\right) +ab\left(b^2-a^2\right) \sin \left(\gamma +\theta\right)=0$

che è la stessa equazione di prima e pertanto è verificata.


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