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Ho trovato questo problema su Aops e non riesco a risolvere il punto b)
[math]I è l'incentro di [math]\bigtriangleup ABC. Le rette [math]BI,CI intersecano la parallela a [math]BC passante per [math]A nei punti [math]D,E, rispettivamente. Gli assi dei segmenti [math]BD,CE intersecano [math]BC nei punti [math]X,Y, rispettivamente.

a)Dimostrare che [math]XI=YI=AI

Si considerino due punti [math]P,Q sulla circonferenza circoscritta ad [math]\bigtriangleup ABC tali che [math]\angle DPE=\angle DQE = 90^{\circ}.

b)Dimostrare che [math]PQ biseca [math]XY

Grazie in anticipo per l'aiuto

$P$ e $Q$ sono le intersezioni tra la circonferenza circoscritta ad $ABC$ e la circonferenza di diametro $DE$, di cui chiamiamo $O$ il centro. Detto invece $M$ il punto medio di $XY$, la tesi è $M \in PQ$, cioè $M$ appartiene all'asse radicale delle due circonferenze, cioè $M$ ha la stessa potenza rispetto a queste ultime. Dal punto (a) sappiamo che $IXY$ è isoscele in $I$, quindi $M$ è la proiezione di $I$ su $BC$, le cui distanze da $B$ e $C$ sono $\dfrac{a \pm (c-b)}{2}$ (dove $a,b,c$ sono i lati di $ABC$), e considerando la corda $BC$ la potenza rispetto alla circonferenza circoscritta è $\dfrac{(b-c)^2-a^2}{4}$. D'altra parte, da un facile angle chasing segue $AD=c$ e $AE=b$, con $D$ ed $E$ da parti opposte rispetto ad $A$, e ponendo WLOG $b \ge c$, $O$ ed $M$ sono da parti opposte rispetto ad $AB$ e $OA=\dfrac{b-c}{2}$, quindi traslando tramite $\overrightarrow{OA}$, $O$ va ovviamente in $A$, mentre $M$ va nel punto $K \in BC$ tale che $BK=BM+OA=\dfrac{a+c-b}{2}+\dfrac{b-c}{2}=\dfrac{a}{2}$, ovvero il punto medio di $BC$. Ricapitolando, la circonferenza di diametro $DE$ ha raggio $\dfrac{b+c}{2}$, e la distanza di $M$ dal suo centro è $AK$, perciò la potenza di $M$ rispetto a tale circonferenza è $\left(AK- \dfrac{b+c}{2} \right) \left( AK + \dfrac{b+c}{2} \right)=AK^2-\left( \dfrac{b+c}{2} \right)^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}-\dfrac{b^2+2bc+c^2}{4}=\dfrac{(b-c)^2-a^2}{4}$, che è lo stesso risultato di prima.

Grazie mille