Trappola tripolare

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elianto84
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Trappola tripolare

Messaggio da elianto84 » 07 mar 2018, 17:40

È dato un triangolo $ABC$ e un punto $P$ distinto dal circocentro $O$ di $ABC$.
Si dimostri che l'inversione circolare rispetto alla circonferenza circoscritta ad $ABC$ preserva le coordinate tripolari di $P$.
Ricordo che le coordinate tripolari di $P$ sono date dalla terna di distanze $[PA,PB,PC]$, definita a meno di moltiplicazione per scalare.
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pipotoninoster
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Re: Trappola tripolare

Messaggio da pipotoninoster » 08 mar 2018, 16:41

Testo nascosto:
Lemma: [math] circonferenza, [math] interno alla circonfernza, [math] immagine di [math] nell'inversione rispetto a [math], [math] intersezione (interna a [math]) di [math] con [math]. Allora [math] è la circonferenza di Apollonio dei punti [math] passante per [math].
Dimostrazione (boh, complessi, magari ce n'è una sintetica): sia [math] un qualunque punto su [math] che wlog è la circonferenza trigonometrica. Allora il lemma equivale a [math]. Ora basta dimostrare che [math] non dipende da [math] con [math]. Infatti: [math]
Testo nascosto:
Ora, sia [math] l'immagine di[math] dopo l'inversione. Per il lemma [math]
quindi tesi.

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