Oldie but goodie

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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elianto84
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Oldie but goodie

Messaggio da elianto84 » 06 mar 2018, 23:49

Dai tempi ormai polverosi e dimenticati di ProbleMatematicaMente, riesumo un problema interessante.

$U,V,W$ sono tre punti distinti all'interno di un cerchio $\Gamma$.
Si costruisca con riga e compasso un triangolo $ABC$ inscritto in $\Gamma$ tale per cui $U\in BC, V\in AC, W\in AB$.
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spugna
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Re: Oldie but goodie

Messaggio da spugna » 24 mar 2018, 19:59

Per ora scrivo una soluzione parziale, nel senso che mancano alcune dimostrazioni (ma le scriverò in un secondo momento)...
Testo nascosto:
Chiamo $P,Q$ le intersezioni di $VW$ e $\Gamma$, con $PV<PW$, e $r$ una retta non passante per $P$, ma la cui parallela per $P$ è tangente a $\Gamma$:
posso allora mettere in corrispondenza un generico $X \in \Gamma$ con l'intersezione di $r$ e $PX$ (passando alla geometria proiettiva, tale corrispondenza manda $P$ nel punto all'infinito di $r$), e di conseguenza un triangolo $ABC$ inscritto in $\Gamma$ corrisponde a una terna $(A',B',C')$ di punti di $r$. Bisogna ora imporre le seguenti condizioni:

1) $U \in BC$;
2) le rette $BW$ e $CV$ si intersecano in un punto di $\Gamma$.

Siano $U'$ e $Q'$, rispettivamente, le intersezioni di $r$ con $PU$ e $PQ$; si può dimostrare che:

Lemma 1: la (1) equivale a chiedere che $B'$ e $C'$ si trovino da parti opposte rispetto a $U'$, e che $U'B' \cdot U'C'=a^2$, dove $a$ è una costante che dipende solo dai dati iniziali e da $r$.

Lemma 2: la (2) equivale a chiedere che $B'$ e $C'$ si trovino dalla stessa parte rispetto a $Q'$, e che $Q'C'=k \cdot Q'B'$, dove $k>1$ è una costante come nel lemma 1.

A questo punto è evidente che si conclude risolvendo un'equazione di secondo grado: dai due lemmi segue che $C'<U'<B'<Q'$ (nel senso che percorrendo $r$ nella direzione opportuna si incontrano i quattro punti in quell'ordine), quindi chiamo $x$ e $l$ le lunghezze di $U'C'$ e $U'Q'$ rispettivamente, da cui $U'B'=\dfrac{a^2}{x}$, e trovo

$\dfrac{l+x}{l-\frac{a^2}{x}}=\dfrac{Q'C'}{Q'B'}=k \Rightarrow l+x=kl-\dfrac{ka^2}{x} \Rightarrow x+\dfrac{ka^2}{x}=(k-1)l$

Disegno allora un triangolo rettangolo di ipotenusa $(k-1)l$ e altezza $\sqrt{k}a$, e le proiezioni dei cateti sono i due possibili valori di $x$.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

spugna
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Re: Oldie but goodie

Messaggio da spugna » 28 mar 2018, 16:41

Aggiunte le parti mancanti.
Testo nascosto:
Restano da dimostrare i due lemmi, e lo si può fare usando alcuni fatti basilari sui birapporti...

1) Siano $JK$ e $LM$ due corde di $\Gamma$ passanti per $U$, congiungiamo questi quattro punti con $P$ e prendiamo le intersezioni con $r$, ottenendo i punti $J',K',L',M'$, insieme al già costruito $U'$: vogliamo dimostrare che $U'J' \cdot U'K'=U'L' \cdot U'M'$ (dove le distanze vanno intese con segno), o equivalentemente $\dfrac{U'J'}{U'M'}=\dfrac{U'L'}{U'K'}$, che usando i birapporti si riscrive come $[S',U';M',J']=[S',U';K',L']$, dove $S'$ è il punto all'infinito di $r$. Detta $s$ la parallela a $r$ passante per $P$ (che è tangente a $\Gamma$ per costruzione) il primo membro diventa $[s,PU'';PM,PJ]=[KP,KU'';KM,KJ]=[P,U'',Z,U]$, dove $U''$ è la seconda intersezione di $\Gamma$ e $PU$, mentre $Z$ è l'intersezione di $KM$ e $PU$. In modo analogo, il secondo membro diventa $[s,PU'';PK,PL]=[MP,MU'';MK,ML]=[P,U'';Z,U]$.

2) Supponendo che esista $A \in \Gamma$ tale che $V \in AC$ e $W \in AB$, si ha $\dfrac{Q'C'}{Q'B'}=[S',Q';B',C']=[s,PQ;PB,PC]=[AP,AQ;AB,AC]=[P,Q;W,V]$, che è una costante.
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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