SNS 2017 - n.2

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Nadal21
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SNS 2017 - n.2

Messaggio da Nadal21 » 01 feb 2018, 18:38

Siano $ \alpha, \beta, \gamma $ e $ \delta $ $ \in \mathbb {R} $. Denotiamo con $ S $ l'insieme dei punti $ (x, y, z) $ dello spazio euclideo tali che $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
Supponiamo poi che per certi numeri reali $ r, s $ accada che per ogni $ (x, y, z) \in S $ si abbia $ z \leq rx + sy $.
Dimostrare che in tal caso c'è un numero $ t \in \mathbb {R} $ con $ 0 \leq t \leq 1 $ tale che $ r = t \alpha + (1-t) \gamma $ e $ s = t \beta + (1-t) \delta $.

Nota: nella soluzione potete assumere che $ (\alpha, \beta) \neq (0,0) $, $ (\gamma, \delta) \neq (0,0) $ e che le rette $ \alpha x + \beta y = 0 $ e $ \gamma x + \delta y = 0 $ siano distinte.

Nadal21
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Re: SNS 2017 - n.2

Messaggio da Nadal21 » 02 feb 2018, 23:02

Nessuno che lo risolva? :roll:

gup
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Re: SNS 2017 - n.2

Messaggio da gup » 18 mag 2018, 18:21

$
$Abbiamo $z \leq \alpha x+\beta y \iff \alpha x+\beta y-z\geq 0$ oppure $z \leq \gamma x+\delta y\iff \gamma x+\delta y-z\geq 0 $. Siano ${\pi}_{1}:\alpha x+\beta y-z $ e ${\pi}_{2}:\gamma x+\delta y-z $. Siccome i piani ${\pi}_{1}$ e ${\pi}_{2}$ passano entrambi per l'origine e non possono essere paralleli perché le rette $\alpha x+\beta y=0$ e $\gamma x+\delta y=0$ sono distinte, i due piani si intersecano in una retta $u$ per l'origine. Inoltre, per ipotesi, esistono due numeri reali $r$ e $s$ tali che $rx+sy-z\geq 0$ per ogni coppia $(x,y)$ appartenente a $S$. Sia $\omega:rx+sy-z= 0$. Ogni piano divide lo spazio in due semispazi, solo uno dei quali soddisfa la disuguaglianza; inoltre la retta $u$ appartiene sicuramente a $S$, quindi $\omega$ e $u$ devono essere paralleli. Infatti, se così non fosse, esisterebbero punti di $u$ da parti opposte rispetto a $\omega$ che dovrebbero appartenere a $S$, assurdo. $\omega$ è perpendicolare al vettore di componenti $(r,s,-1)$. Quindi $u\parallel \omega \iff (r,s,-1) \perp u$. Parametrizzando la retta $u$, si trova $$\begin{cases} x=\frac{(\delta-\beta)}{\alpha\delta-\beta\gamma}k\\
y=\frac{(\alpha-\gamma)}{\alpha\delta-\beta\gamma}k\\
z=k\\
\end{cases}$$ quindi la retta $u$ è parallela al vettore di componenti $\left(\frac{(\delta-\beta)}{\alpha\delta-\beta\gamma},\frac{(\alpha-\gamma)}{\alpha\delta-\beta\gamma}, 1\right)$. La condizione di perpendicolarità è $$\frac{(\delta-\beta)}{\alpha\delta-\beta\gamma}r+\frac{(\alpha-\gamma)}{\alpha\delta-\beta\gamma}s-1=0$$ ovvero $$(\delta-\beta)r+(\alpha-\gamma)s= \alpha\delta-\beta\gamma$$ Quindi i punti $(\delta, \alpha, \alpha\delta)$ e $(\beta, \gamma, \beta\gamma)$ appartengono a $\omega$. Risolvendo il sistema $$\begin{cases} \delta r+\alpha s=\alpha\delta\\
\beta r+\gamma s=\beta\gamma\\
\end{cases}$$ si ottiene $$\begin{cases} r=\frac{\gamma\delta\alpha-\alpha\beta\gamma}{\delta\gamma-\alpha\beta}\\
s=\frac{\gamma\delta\beta-\alpha\beta\delta}{\delta\gamma-\alpha\beta}\\
\end{cases}$$ Si ha quindi $r=t\alpha+(1-t)\gamma$, dove $t=\frac{\delta\gamma}{\delta\gamma-\alpha\beta}$. A questo punto come dimostro che $0\leq t\leq 1$?
$
$.

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