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Sia ABC un triangolo di base AB fissata, con la somma degli altri due lati costante. Si cerchi il rapporto fra i lati BC ed AC per cui l’area di ABC sia massima.

Chiamo $x$ la somma tra BC e AC
Per la formula di Erone:
$$A=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{\frac{x+AB}{2}\frac{x-AB}{2}\frac{x+AB-2BC}{2}\frac{x+AB-2AC}{2}}$$
Per massimizzare l'area devo quindi rendere massimo il prodotto:
$$(x+AB-2BC)(x+AB-2AC)=x^2+AB^2+4BC \cdot AC+2ABx-2(x+AB)AC-2(x+AB)BC$$
Che equivale a massimizzare $BC \cdot AC$.
Ora scrivo $BC=x-AC$. Il prodotto è quindi $-AC^2+xAC$. Il punto di massimo è il vertice della parabola che ha $AC=\frac{-b}{2a}=\frac{x}{2}$
L'area massima si ha quindi quando $AC+BC=2AC$ ovvero quando il triangolo è isoscele sulla base AB. Il rapporto è quindi $1$

Oppure: A e B sono i fuochi di un'ellisse, su cui si muove C. L'altezza massima si ha quindi quando ABC è isoscele su base AB

fai la derivata

Ilgatto ha scritto: ↑22 gen 2018, 22:38 Che equivale a massimizzare $BC \cdot AC$.

Da qui ti basta AM-GM comunque

Ma che derivate... Se abbiamo un punto che si muove su un'ellisse, la sua distanza dall'asse maggiore è massima quando tale punto coincide con uno dei vertici dell'asse minore. In altri termini, le ellissi (interno incluso) sono corpi convessi simmetrici rispetto al loro centro, per cui è tutto banale.