Dato un triangolo [math]\textit{ABC} (con [math]\textit{a} opposto ad [math]\textit{A} e [math]\textit{cyc}) e preso un punto qualsiasi [math]\textit{P}, chiamiamo [math]A_{1}, [math]B_{1} e [math]C_{1} i simmetrici rispettivamente di [math]\textit{A}, [math]\textit{B} e [math]\textit{C} rispetto a [math]\textit{P}. Un fatto facilmente dimostrabile è che [math]\textit{A}, [math]\textit{B}, [math]\textit{C},[math]A_{1}, [math]B_{1} e [math]C_{1} giacciono sulla stessa conica. Ma se noi ora facessimo il simmetrico di [math]A_{1} rispetto ad [math]\textit{a}, di [math]B_{1} rispetto a [math]\textit{b} e di [math]C_{1} rispetto a [math]\textit{c} e li denominiamo rispettivamente [math]A_{2}, [math]B_{2} e [math]C_{2}, è curioso notare che il centro della circonferenza circoscritta ad [math]A_{2}B_{2}C_{2}, che chiameremo [math]\textit{D}, non varia al variare di [math]\textit{P} e coincide con il cicocentro di [math]\textit{ABC}; e variando un vertice [math]\textit{D} si muoverà sull'asse del lato opposto a quel vertice. Inoltre se invece di prendere i simmetrici rispetto ai lati prendiamo i simmetrici rispetto ai punti medi dei lati ([math]A_{1} rispetto al punto medio di [math]\textit{a} e [math]\textit{cyc}) notiamo che i tre nuovi punti coincidono.
Re: Triangoli, Coniche e Circocentro
Inviato: 24 feb 2018, 15:14
da pipotoninoster
Ammetto che so meno di zero riguardo alle coniche per cui mi sono dovuto affidare a...
Testo nascosto:
...Cartesio
Per la prima parte...
Testo nascosto:
Siano WLOG [math]P=(0,0) e [math]A=(a,0). Poi [math]B=(x_B,y_B), [math]C=(x_C,y_C). Allora [math]A_1=(-a,0), [math]B_1=(-x_B,-y_B) e [math]C_1=(-x_C,-y_C). Sia [math]\omega una conica che ha centro di simmetria in [math]P. Allora essa ha equazione [math]\omega: (\alpha)x^2+(\beta)xy+(\gamma)y^2+\delta=0. é facile vedere che esiste un'unica conica con centro in [math]P che passa per [math]A,B,C a patto che [math]P non stia sulle rette [math]AB,BC,CA. Infatti deve verificarsi il sistema: [math](x_A)^2\alpha+(x_A)(y_A)\beta+(y_A)^2\gamma=-\delta e cicliche. Fissato [math]\deltail sistema ha un' unica soluzione [math](\alpha,\beta,\gamma) se e solo se il determinante dei coefficienti è diverso da zero, cioè se e solo se [math](x_B)(y_B)(y_C)^2 \ne (y_B)^2(x_C)(y_C) ed è facile vedere che ciò accade quando $ P $ non è su nessuna delle rette$ AB,BC,CA $. Determinata quest'unica conica $ \omega $ è facile vedere che essa contiene anche $ A_1,B_1,C_1 $. Ora basta considerare il caso in cui WLOG $ P \in BC $: in questo caso la conica ricercata è degenere ed è l'unione fra le rette $ BC $ e $ AP $.
Re: Triangoli, Coniche e Circocentro
Inviato: 24 feb 2018, 16:29
da pipotoninoster
Per la terza parte...
Testo nascosto:
In vettori...
Fatto 1: Il punto medio di $ BC $ è $ M=(B+C)/2 $
Fatto 2: il simmetrico di $ X $ rispetto a $ Q $ è $ X'=2Q-X $
Quindi $ A_1=2P-A $ e $ A_2=2M-A_1=A+B+C-2P $ e cicliche, cioè $ A_2=B_2=C_2 $
Re: Triangoli, Coniche e Circocentro
Inviato: 07 mar 2018, 09:36
da Neottolemo
In realtà è con la terza parte che dimostri la prima... molto bello comunque