Triangoli, Coniche e Circocentro

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Neottolemo
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Triangoli, Coniche e Circocentro

Messaggio da Neottolemo » 12 gen 2018, 19:16

Dato un triangolo [math] (con [math] opposto ad [math] e [math]) e preso un punto qualsiasi [math], chiamiamo [math], [math] e [math] i simmetrici rispettivamente di [math], [math] e [math] rispetto a [math]. Un fatto facilmente dimostrabile è che [math], [math], [math],[math], [math] e [math] giacciono sulla stessa conica. Ma se noi ora facessimo il simmetrico di [math] rispetto ad [math], di [math] rispetto a [math] e di [math] rispetto a [math] e li denominiamo rispettivamente [math], [math] e [math], è curioso notare che il centro della circonferenza circoscritta ad [math], che chiameremo [math], non varia al variare di [math] e coincide con il cicocentro di [math]; e variando un vertice [math] si muoverà sull'asse del lato opposto a quel vertice. Inoltre se invece di prendere i simmetrici rispetto ai lati prendiamo i simmetrici rispetto ai punti medi dei lati ([math] rispetto al punto medio di [math] e [math]) notiamo che i tre nuovi punti coincidono.

pipotoninoster
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Re: Triangoli, Coniche e Circocentro

Messaggio da pipotoninoster » 24 feb 2018, 15:14

Ammetto che so meno di zero riguardo alle coniche per cui mi sono dovuto affidare a...
Testo nascosto:
...Cartesio
Per la prima parte...
Testo nascosto:
Siano WLOG [math] e [math]. Poi [math], [math]. Allora [math], [math] e [math]. Sia [math] una conica che ha centro di simmetria in [math]. Allora essa ha equazione [math]. é facile vedere che esiste un'unica conica con centro in [math] che passa per [math] a patto che [math] non stia sulle rette [math]. Infatti deve verificarsi il sistema: [math] e cicliche. Fissato [math]il sistema ha un' unica soluzione [math] se e solo se il determinante dei coefficienti è diverso da zero, cioè se e solo se [math] ed è facile vedere che ciò accade quando $ P $ non è su nessuna delle rette$ AB,BC,CA $. Determinata quest'unica conica $ \omega $ è facile vedere che essa contiene anche $ A_1,B_1,C_1 $. Ora basta considerare il caso in cui WLOG $ P \in BC $: in questo caso la conica ricercata è degenere ed è l'unione fra le rette $ BC $ e $ AP $.

pipotoninoster
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Re: Triangoli, Coniche e Circocentro

Messaggio da pipotoninoster » 24 feb 2018, 16:29

Per la terza parte...
Testo nascosto:
In vettori...
Fatto 1: Il punto medio di $ BC $ è $ M=(B+C)/2 $
Fatto 2: il simmetrico di $ X $ rispetto a $ Q $ è $ X'=2Q-X $
Quindi $ A_1=2P-A $ e $ A_2=2M-A_1=A+B+C-2P $ e cicliche, cioè $ A_2=B_2=C_2 $

Neottolemo
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Re: Triangoli, Coniche e Circocentro

Messaggio da Neottolemo » 07 mar 2018, 09:36

In realtà è con la terza parte che dimostri la prima... molto bello comunque

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