Ammissione WC 2015 Geo 2

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Nadal21
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Ammissione WC 2015 Geo 2

Messaggio da Nadal21 » 02 gen 2018, 22:19

Sia $ABC$ un triangolo isoscele con $AB = AC$ e siano $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ due circonferenze per $B$, $C$; indichiamo con $D, E$ le intersezioni di $\Gamma_1$ con $AB$ e $AC$ e con $F$ e $G$ le intersezioni di $\Gamma_2$ con $DC$ e $AC$.
Siano infine $P$ e $Q$ i simmetrici di $F$ e $G$ rispetto ai punti medi di $DC$ e $EC$ rispettivamente.
Dimostrare che $D, E, P, Q$ sono conciclici.

Nadal21
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Re: Ammissione WC 2015 Geo 2

Messaggio da Nadal21 » 04 gen 2018, 15:53

Nessuno che voglia farlo?

Roob
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Re: Ammissione WC 2015 Geo 2

Messaggio da Roob » 04 gen 2018, 18:33

Sia $K$ l'intersezione di $\Gamma_2$ con $AB$.
Poichè $BCED$ è ciclico e $ABC$ è isoscele, abbiamo che $\widehat{BCE}=\widehat{CBD}=\pi-\widehat{CED}$. Quindi $BCED$ è un trapezio, ed essendo $\widehat{BCE}=\widehat{CBD}$ è anche isoscele, con $DB=CE$. Analogamente si dimostra che $BK=GC$.
Adesso, per la definizione di $P$ e considerando i punti come vettori con origine qualsiasi, abbiamo che $$P-C=2\left(\frac{D+C}{2}\right)-F-C=D+C-F-C=D-F$$ quindi $PC=DF$, e analogamente si ottiene $GC=EQ$.
Ora, considerando segmenti orientati, abbiamo che $$CP\cdot CD=-DF\cdot (-DC)=Pow_{\Gamma_2}(D)=DB\cdot DK=DB(DB+BK)=CE(CE+EQ)=CE\cdot CQ$$ Da questo segue che $\frac{CP}{CE}=\frac{CQ}{CD}$ quindi, poichè hanno un angolo in comune, i triangoli $CPE$ e $CQD$ sono ordinatamente simili. Ma allora $$\widehat{EQD}=\widehat{CPE}=\pi-\widehat{DPE}$$ quindi $DEPQ$ è ciclico.

Nadal21
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Re: Ammissione WC 2015 Geo 2

Messaggio da Nadal21 » 05 gen 2018, 19:36

OK :)

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