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per A.E.F. (by S.R.)

Inviato: 10 nov 2017, 17:13
da Talete
Sia $ABC$ un triangolo equilatero. Sia $D$ il piede della bisettrice condotta da $A$. Siano $E$ ed $F$ punti su $AC$ ed $AB$ rispettivamente tali che $AD$, $BE$ e $CF$ concorrono in $L$. Sia $U$ il simmetrico di $E$ rispetto alla bisettrice condotta da $B$. Sia $A'$ il simmetrico di $A$ rispetto a $BC$. Sapendo che $FUCA'$ è ciclico, e detto $x=AU/EL$, determinare il valore di
\[x\cdot\sqrt{30-4x^2}.\]

Re: per A.E.F. (by S.R.)

Inviato: 15 nov 2017, 14:49
da Sirio
Davvero un bel problema, val la pena di perderci la verginità... Baricentriche!
Testo nascosto:
Visto che la configurazione è invariante per omotetia, poniamo wlog $a=b=c=1$. Abbiamo:
\[
A=\left[1:0:0\right];B=\left[0:1:0\right];C=\left[0:0:1\right];D=\left[0:1:1\right];L=\left[l:1:1\right]
\]
Per qualche reale positivo $l$. Se infatti $l$ non fosse positivo, $E$ ed $F$ non sarebbero punti interni ai segmenti $AC$ ed $AB$ rispettivamente.
$E$ sta sul lato $AC$, quindi ha coordinate $\left[h:0:1\right]$ per qualche $h$. Inoltre, abbiamo $B,L,E$ allineati:
\[
det\begin{pmatrix}0&1&0\\l&1&1\\h&0&1\end{pmatrix}=0\Rightarrow h-l=0\Rightarrow h=l\Rightarrow E=\left[l:0:1\right]
\]
Analogamente otteniamo $F=\left[l:1:0\right]$.
Dunque, $U$ è il simmetrico di $E$ rispetto alla bisettrice condotta da $B$. Ricordando che $ABC$ è equilatero, $U$ è il simmetrico di $E$ rispetto al piede della bisettrice condotta da $B$, che ha coordinate $\left[1:0:1\right]=\left[\dfrac{l+1}2:0:\dfrac{l+1}2\right]$. Si ha quindi:
\[
U=2\left[\dfrac{l+1}2:0:\dfrac{l+1}2\right]-\left[l:0:1\right]=\left[1:0:l\right]
\]
Analogamente, $A'$ è il simmetrico di $A$ rispetto a $D$, che ha coordinate $\left[0:1:1\right]=\left[0:\dfrac 1 2:\dfrac 1 2\right]$:
\[
A'=2\left[0:\dfrac 1 2:\dfrac 1 2\right]-\left[1:0:0\right]=\left[-1:1:1\right]
\]
Ora, noi sappiamo che $FUCA'$ è ciclico. Esiste quindi una circonferenza, che chiamiamo $\gamma$, cui appartengono $F$, $U$, $C$ ed $A'$. Siano $u,v,w$ i valori reali per cui $\gamma$ ha la seguente equazione, ricordando che tutte le circonferenze sono descritte in coordinate cartesiane da equazioni della forma seguente per i valori di $a,b,c$ scelti in questo problema:
\[
xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)\left(ux+vy+wz\right)
\]
Mettendo a sistema le condizioni di appartenenza di $F$, $U$, $C$ ed $A'$ a $\gamma$ otteniamo:
\[
\begin{cases}
l=\left(l+1\right)\left(ul+v\right)\\
l=\left(l+1\right)\left(u+wl\right)\\
0=w\\
-1=-u+v+w\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
w=0\\
u=\dfrac l{l+1}\\
l=\left(l+1\right)\left(\dfrac{l^2}{l+1}+v\right)\\
\dfrac l{l+1}-1=v\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
w=0\\
u=\dfrac l{l+1}\\
v=-\dfrac 1{l+1}\\
l=\left(l+1\right)\left(\dfrac{l^2-1}{l+1}\right)\end{cases}
\]
\[
l=l^2-1\Rightarrow l^2-l-1=0\Rightarrow l_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}
\]
Scartando il risultato $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ poiché è negativo, abbiamo $l=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Ricordiamo ora le coordinate dei quattro punti che ci servono per calcolare $x$, ovvero di $A,U,E,L$:
\[
A=\left[1:0:0\right]
\]
\[
U=\left[1:0:l\right]=\left[\dfrac 1{1+l}:0:\dfrac l{1+l}\right]=\left[\dfrac 2{3+\sqrt 5}:0:\dfrac {1+\sqrt 5}{3+\sqrt 5}\right]=\left[\dfrac{6-2\sqrt 5}4:0:\dfrac {2\sqrt 5-2}4\right]=\left[\dfrac{3-\sqrt 5}2:0:\dfrac {\sqrt 5-1}2\right]
\]
\[
E=\left[l:0:1\right]=\left[\dfrac l{1+l}:0:\dfrac 1{1+l}\right]=\left[\dfrac {\sqrt 5-1}2:0:\dfrac{3-\sqrt 5}2\right]
\]
\[
L=\left[l:1:1\right]=\left[\dfrac l{2+l}:\dfrac 1{2+l}:\dfrac 1{2+l}\right]=\left[\dfrac {1+\sqrt 5}{5+\sqrt 5}:\dfrac 2{5+\sqrt 5}:\dfrac 2{5+\sqrt 5}\right]=\left[\dfrac {4\sqrt 5}{20}:\dfrac{10-2\sqrt 5}{20}:\dfrac{10-2\sqrt 5}{20}\right]=\left[\dfrac {\sqrt 5}5:\dfrac{5-\sqrt 5}{10}:\dfrac{5-\sqrt 5}{10}\right]
\]
A questo punto, passiamo alle coordinate cartesiane. Le coordinate appena calcolate di questi quattro punti possono essere viste come coordinate nello spazio cartesiano. Così facendo, tutte le distanze vengono moltiplicate per un fattore $\sqrt 2$, ma dal momento che noi dobbiamo calcolare una rapporto tra distanze possiamo anche non curarcene. Salto adesso i conti perché son lunghetti, li imposto solo e scrivo il risultato:
\[
x=\dfrac{AU}{EL}=\dfrac{\sqrt{\left(x_A-x_U\right)^2+\left(y_A-y_U\right)^2+\left(z_A-z_U\right)^2}}{\sqrt{\left(x_E-x_L\right)^2+\left(y_E-y_L\right)^2+\left(z_E-z_L\right)^2}}=\dfrac{5\sqrt 2+\sqrt{10}}4
\]
E a questo punto il contone finale:
\[
x\cdot\sqrt{30-4x^2}=\dfrac{5\sqrt 2+\sqrt{10}}4\sqrt{30-\dfrac{\left(5\sqrt 2+\sqrt{10}\right)^2}4}=\dfrac{5\sqrt 2+\sqrt{10}}4\dfrac 1 2\sqrt{120-\left(5\sqrt 2+\sqrt{10}\right)^2}=\dfrac{5\sqrt 2+\sqrt{10}}8\sqrt{60-20\sqrt 5}=\dfrac{5\sqrt 2+\sqrt{10}}8\left(5\sqrt 2-\sqrt{10}\right)=\dfrac{50-10}8=5
\]

Re: per A.E.F. (by S.R.)

Inviato: 16 nov 2017, 19:30
da Talete
Stravagante ma okay