Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος

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Talete
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Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος

Messaggio da Talete » 30 ott 2017, 20:30

Sia $ABC$ un triangolo, $O$ il suo circocentro, $\Omega$ la sua circonferenze inscritta, $I$ il suo incentro, $L$ il suo punto di Lemoine.

(1) Siano $I_A$, $I_B$ ed $I_C$ i piedi delle bisettrici interne. Siano $E_A$, $E_B$ ed $E_C$ i piedi delle bisettrici esterne. Dimostrare che le tre circonferenze $\Gamma_A=AI_AE_A$, $\Gamma_B=BI_BE_B$ e $\Gamma_C=CI_CE_C$ hanno i loro tre centri sui lati del triangolo (dove con "lato" si intende la retta e non il segmento).

(2) Dimostrare che l'asse radicale tra $\Gamma_A$ e $\Omega$ è la retta $AL$. Similmente gli assi radicali tra $\Gamma_B$ e $\Omega$ e tra $\Gamma_C$ e $\Omega$ sono $BL$ e $CL$.

(3) Dimostrare che $\Gamma_A$, $\Gamma_B$ e $\Gamma_C$ si intersecano in due punti, uno interno e uno esterno al triangolo. Chiamiamo quello interno $S$ e quello esterno $T$.

(4) Dimostrare che $AS\cdot BC=BS\cdot CA=CS\cdot AB$ e $AT\cdot BC=BT\cdot CA=CT\cdot AB$.

(5) Dimostrare che $S$, $T$, $O$ ed $L$ sono allineati.

(6) Dimostrare che, costruita una circonferenza grande tangente alle tre circonferenze inscritte ad $ABC$ nei tre punti $P_A$, $P_B$ e $P_C$, le rette $AP_A$, $BP_B$ e $CP_C$ si intersecano in $S$.

(7) Dimostrare che il triangolo pedale di $S$ è equilatero.

(8) Dimostrare che invertendo in una circonferenza centrata in $S$ oppure in $T$, $ABC$ va in un triangolo equilatero.

(9) Dimostrare che invertendo in $\Omega$, $S$ e $T$ si scambiano.

(10) Dimostrare che i centri di $\Gamma_A$, $\Gamma_B$ e $\Gamma_C$ sono allineati su una retta $\ell$ (detta retta di Lemoine di $ABC$).

(11) Dimostrare che la retta di Lemoine di $ABC$ è la polare di $L$ rispetto ad $\Omega$.

(12) Dimostrare che $\ell$ è l'asse del segmento $ST$.

(13) Fissiamo i punti $A$ e $B$ nel piano, e facciamo variare $C$ sulla circonferenza su cui $AC=2BC$. Quanto vale l'area spazzata dal segmento $ST$?
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
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