Ventitré Pezzi Facili

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Talete
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Ventitré Pezzi Facili

Messaggio da Talete » 28 ott 2017, 14:40

Ecco un po' di bellissimi esercizi su Feuerbach!

(1) Sia $ABC$ un triangolo; sia $G$ il suo baricentro, $H$ l'ortocentro, $O$ il circocentro, $I$ l'incentro, $I_A$, $I_B$, $I_C$ gli excentri, $L$ il punto di Lemoine, $W$ il punto di Napoleone; $M_A$, $M_B$, $M_C$ i punti medi dei lati; $H_A$, $H_B$, $H_C$ i piedi delle altezze; $M_A$, $M_B$, $M_C$ i punti medi dei segmenti che collegano i vertici con l'ortocentro. Siano $M_A'$, $M_B'$, $M_C'$, $H_A'$, $H_B'$, $H_C'$ i simmetrici di $H$ rispetto a $M_A$, $M_B$, $M_C$, $H_A$, $H_B$, $H_C$ rispettivamente. Dimostrare che $M_A'$, $M_B'$, $M_C'$, $H_A'$, $H_B'$ e $H_C'$ stanno sulla circonferenza circoscritta ad $ABC$.

(2) Trovare dove vanno i punti $A$, $B$, $C$, $M_A'$, $M_B'$, $M_C'$, $H_A'$, $H_B'$, $H_C'$ facendo un'omotetia di centro $H$ e fattore $1/2$. La circonferenza in cui vanno a finire si chiama circonferenza di Feuerbach, e il suo centro è $N$.

(3) Dimostrare che un'omotetia di centro $G$ e fattore $-1/2$ manda la circoscritta ad $ABC$ nella Feuerbach di $ABC$.

(4) Dimostrare che la circonferenza di Feuerbach è tangente all'inscritta ad $ABC$ e alle tre circonferenze exscritte. Siano $F$, $F_A$, $F_B$ ed $F_C$ i punti di tangenza. $F$ (quello con l'inscritta) è detto punto di Feuerbach di $ABC$.

(5) Siano $D_A$, $D_B$, $D_C$ i punti in cui la circonferenza inscritta tange i lati. Allora $AD_A$, $BD_B$, $CD_C$ concorrono in un punto $G_e$ detto punto di Gergonne di $ABC$. Siano $D_A'$, $D_B'$, $D_C'$ i simmetrici di $I$ rispetto ai lati di $ABC$. Sia $G_e'$ l'intersezione di $AD_A'$, $BD_B'$, $CD_C'$. Dimostrare che $F$ sta sulla circonferenza dei nove punti di $IG_eG_e'$.

(6) Siano $X_A$, $X_B$, $X_C$ le proiezioni di $A$ sui lati $I_BI_C$, $I_CI_A$ e $I_AI_B$ rispettivamente. Sinao costruiti allo stesso modo $Y_A$, $Y_B$, $Y_C$ per il punto $B$ e $Z_A$, $Z_B$, $Z_C$ per il punto $C$. Dimostrare che le circonferenze circoscritte a $X_AX_BX_C$, $Y_AY_BY_C$, $Z_AZ_BZ_C$ concorrono in $F$.

(7) Siano $U_A$, $U_B$, $U_C$ i punti medi di $AI$, $BI$, $CI$ rispettivamente. L'asse di $BC$ interseca la circonferenza dei nove punti di $IBC$ in un punto $U_A'$ oltre che in $M_A$. Dimostrare che $U_AU_A'$, $U_BU_B'$ e $U_CU_C'$ concorrono in $F$.

(8) Siano $E_A$, $E_B$, $E_C$ i punti in cui le circonferenze exscritte tangono i lati. Allora $AE_A$, $BE_B$, $CE_C$ concorrono in un punto $N_a$ detto punto di Nagel di $ABC$. Sia $K$ il circocentro di $E_AE_BE_C$, siano $P_A$, $P_B$ e $P_C$ le proiezioni di $I$ su $AH$, $BH$ e $CH$ rispettivamente; siano $P_A'$, $P_B'$ e $P_C'$ le proiezioni rispettivamente di $A$, $B$ e $C$ su $IK$. Dimostrare che $P_AP_A'$, $P_BP_B'$ e $P_CP_C'$ concorrono in $F$.

(9) Sia $F_A'$ il coniugato isogonale di $F_A$ nel triangolo $AF_BF_C$, e similmente siano definiti $F_B'$ e $F_C'$. Dimostrare che $F_AF_A'$, $F_BF_B'$ e $F_CF_C'$ concorrono.

(10) Sia $K_A$ l'intersezione di $OI$ con $BC$ e siano similmente costruiti $K_B$ e $K_C$. Dimostrare che $K_AF$ è perpendicolare ad $AF$, $K_BF$ a $BF$ e $K_CF$ a $CF$.

(11) Siano $I_A'$, $I_B'$ e $I_C'$ gli ortocentri dei triangoli $BIC$, $CIA$ e $AIB$ rispettivamente. Dimostrare che i cerchi dei nove punti di $AI_B'I_C'$, $BI_C'I_A'$ e $CI_A'I_B'$ concorrono in $F$.

(12) Siano $J_A$, $J_B$ e $J_C$ i punti di Feuerbach dei triangoli $BIC$, $CIA$ e $AIB$ rispettivamente. Siano $J_A'$, $J_B'$ e $J_C'$ le intersezioni di $AJ_A$ con $BC$, $BJ_B$ con $CA$ e $CJ_C$ con $AB$ rispettivamente. Dimostrare che $F$, $J_A'$, $J_B'$, $J_C'$ sono allineati sull'asse radicale della circonferenza inscritta e la circonferenza di Feuerbach di $ABC$ (d'ora in poi questo asse è $\ell$).

(13) Siano $L_A$, $L_B$ ed $L_C$ i punti medi degli archi che non contengono rispettivamente $A$, $B$ e $C$ sulla circoscritta ad $ABC$. Siano $L_A'$, $L_B'$ e $L_C'$ le intersezioni dei lati $BC$, $CA$ e $AB$ con $\ell$. Dimostrare che $L_A$, $L_A'$ e $D_A'$ sono allineati. Le tre rette $L_AL_A'D_A'$, $L_BL_B'D_B'$, $L_CL_C'D_C'$ concorrono?

(14) Siano $G_A$, $G_B$ e $G_C$ le proiezioni di $A$, $B$ e $C$ sulla retta $IG_e$. Dimostrare che le circonferenze circoscritte a $AD_AG_A$, $BD_BG_B$ e $CD_CG_C$ concorrono in $F$.

(15) Dimostrare che $FF_A$, $F_BF_C$ e $M_BM_C$ concorrono in un punto $N_A$. Costruendo similmente $N_B$ ed $N_C$, quanto vale l'area del triangolo $N_AN_BN_C$?

(16) Sia $\gamma$ l'iperbola passante per $A$, $B$, $C$ e $H$ e con centro in $F$. Dimostrare che $\gamma$ passa per $I$, $G_e$ e $N_a$.

(17) Siano $R$ ed $S$ le intersezioni di $\ell$ con la circonferenza circoscritta ad $ABC$. Sia $RR'$ la seconda tangente da $R$ sulla circonferenza inscritta in $ABC$ (con $R'$ sull'inscritta), e sia $SS'$ similmente la seconda tangente da $S$. Dimostrare che $RR'$ e $SS'$ si intersecano in un punto $T$ sulla circonferenza passante per $ABC$.

(18) Dimostrare che la retta di Simson di $T$ biseca $IT$.

(19) Dimostrare che le rette ottenute riflettendo la retta di Euler di $ABC$ rispetto alle rette $M_AM_B$, $M_BM_C$ e $M_CM_A$ si intersecano in $F$.

(20) Dimostrare che, detto $m$ la massima lunghezza tra $FM_A$, $FM_B$ e $FM_C$, si ha che $FM_A+FM_B+FM_C=2m$.

(21) Siano $V$ e $V'$ punti sulla retta di Euler di $ABC$ tali che $(O,H;V,V')=-1$. Dimostrare che $F$ appartiene all'asse radicale tra la circoscritta ad $ABC$ e quella ad $IVV'$.

(22) Dimostrare che, al variare di $V$ sulla retta di Euler, il circocentro di $IVV'$ appartiene sempre ad una stessa retta $r$ tangente alla circoscritta di $ABC$.

(23) Siano $Q_A$, $Q_B$ e $Q_C$ le proiezioni di $A$, $B$ e $C$ sulla retta $OI$. Dimostrare che $AQ_A-FH_A=BQ_B-FH_B=CQ_C-FH_C$.
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