Lo stile non va a pile (Gausswag)

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Talete
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Lo stile non va a pile (Gausswag)

Messaggio da Talete » 23 ott 2017, 16:46

Lemma di Gauss: sia $ABCD$ un quadrilatero, $AB\cap CD=P$, $BC\cap DA=Q$. Siano $E$, $F$ e $G$ i punti medi dei lati $AC$, $BD$ e $PQ$ rispettivamente. Dimostrare che $E$, $F$ e $G$ sono allineati.

Di questo lemma piuttosto noto ho letto in giro la seguente dimostrazione (sotto spoiler per i deboli di cuore):
Testo nascosto:
Consideriamo i punti $X$ del piano tali che
\[[ABX]+[CDX]=[BCX]+[DAX],\]
dove $[RST]$ è l'area con segno del triangolo $RST$. Allora questo insieme è una retta oppure tutto il piano (e qui ho dei dubbi) ma se fosse tutto il piano allora inserendo le coordinate di $A$ e $B$ si avrebbe che $ABCD$ è un parallelogramma, assurdo perché $P$ e $Q$ non esisterebbero. Dunque questo insieme è una retta, e dato che $E$, $F$ e $G$ soddisfano, sono allineati.
Una dimostrazione del genere è legale? A me sembra un po' fumosa, secondo me va anche dimostrato che una cosa di quel genere sia proprio una retta. O sbaglio?
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Drago96
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Re: Lo stile non va a pile (Gausswag)

Messaggio da Drago96 » 23 ott 2017, 18:17

A me sembra funzionare, a patto di dimostrare che quel luogo è davvero una retta o un piano.
Un modo sensato, secondo me, è vedere che l'area rispetta le combinazioni affini: supponi di fissare i tuoi $A,B$ e poi prendere due punti a caso $X,Y$ nel piano; per ogni $\lambda\in\mathbb R$ definisci $Z=\lambda X+(1-\lambda)Y$.
Allora vale $[ABZ]=\lambda[ABX]+(1-\lambda)[ABY]$ (e qua fai tipo il conto con la formula della distanza punto-retta)
Questo ti dice che il tuo luogo è un sottospazio affine di $\mathbb R^2$; in parole povere: se hai due punti, hai tutta la retta; se poi ne hai un terzo fuori dalla retta, hai tutto il piano. Che è esattamente quello che serve

Osservazione a caso: probabilmente si riesce a sistemare il tutto nel proiettivo, includendo anche i parallelismi vari
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Re: Lo stile non va a pile (Gausswag)

Messaggio da fph » 23 ott 2017, 18:18

Parti con il dimostrare questo: l'area con segno di un triangolo $[ABX]$ è una funzione lineare affine delle coordinate $x, y$ di $X$ (cioè qualcosa del tipo $ax+by+c$, con $a,b,c$ reali fissati). Se $AB$ fosse sull'asse $x$, allora è ovvio, giusto?

(In realtà se questo è l'argomento allora manca da escludere un terzo caso, mi sembra: il luogo degli zeri di una funzione lineare affine in $x$ e $y$ o è una retta, o è tutto il piano, o è l'insieme vuoto.)

(EDIT: lineare -> lineare affine)
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Re: Lo stile non va a pile (Gausswag)

Messaggio da Talete » 28 ott 2017, 14:39

Grazie! Quindi mi basta dimostrare quello ed è finito, ottimo ;)
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