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Dato un triangolo acutangolo $ABC$ di circocentro O, dimostrare che i simmetrici rispetto ai lati del circocentro $O_1$, $O_2$ e $O_3$ e i tre vertici $A$, $B$ e $C$ appartengono allo stesso ellisse; dimostrare inoltre che se il triangolo fosse ottusangolo, allora i sei punti appartengono alla stessa iperbole

Dai ci provo. Chiaramente mi basta mostrare che stanno sulla stessa conica: è evidente che questa conica sarà un'ellisse nel caso acutangolo e una parabola nel caso ottusangolo. Quando è rettangolo boh, succedono cose brutte, ma credo sia comunque una conica (due rette parallele sono una conica se non sbaglio).

$A=[1:0:0]$ e $B=[0:1:0]$ e $C=[0:0:1]$ e $O=[a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C]$ come al solito. Devo riflettere $O$ rispetto ai tre lati, quindi rispetto ai punti medi dei lati. Punto medio di $BC$ è $M_A=[0:1:1]$ e cicliche. Quindi $O_A$ (la riflessione di $O$ wrt $BC$) sarà $2M_A-O$, con le coordinate normalizzate. Per normalizzare moltiplico quelle di $M_A$ per $S^2/2$. Ho quindi
\[O_A=[-a^2S_A:a^2S_A+c^2S_C:a^2S_A+b^2S_B]\]
e cicliche. I sei punti $A$, $B$, $C$, $O_A$, $O_B$ e $O_C$ stanno ovviamente sulla conica
\[a^2S_A(b^2S_B+c^2S_C)yz+b^2S_B(c^2S_C+a^2S_A)zx+c^2S_C(a^2S_A+b^2S_B)xy,\]
come volevasi dimostrare.

Benissimo, ora la seconda parte del problema, dato un triangolo qualsiasi $ABC$, quanti sono al massimo i punti tali che i tre vertici ed i simmetrici rispetto ai lati giacciono sulla stessa conica?

Ma sbaglio o per qualsiasi punto $P=[p:q:r]$ la conica
\[p(q+r)yz+q(r+p)zx+r(p+q)xy\]
va bene?

Hai fatto una considerazione che per il primo punto è corretta, ma sfortunatamente non vale per il secondo

Neottolemo ha scritto: ↑02 set 2017, 10:44 Hai fatto una considerazione che per il primo punto è corretta, ma sfortunatamente non vale per il secondo

Comunque ho capito dove ho sbagliato (e te l'ho detto pure di persona al Senior). Ho fatto le riflessioni rispetto al punto medio del lato e non al lato. Quando ho tempo farò i conti giusti.

Al senior mi è giunta voce che esistono delle idee per farlo in sintetica

Neottolemo ha scritto: ↑10 set 2017, 16:16 Al senior mi è giunta voce che esistono delle idee per farlo in sintetica

Cosa vuol dire sintetica?

Talete ha scritto: ↑10 set 2017, 16:17 Cosa vuol dire sintetica?

È quella cosa che non hai studiato per colpa della meningite...

La sintetica est una absurda teoria nella quale si pensa di poter fare li problemi senza l'uso di conti alcuni