Si lavora con gli incentri

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Gerald Lambeau
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Si lavora con gli incentri

Messaggio da Gerald Lambeau » 25 lug 2017, 17:35

Sia $ABC$ un triangolo e $D$ il punto di tangenza tra l'inscritta e il lato $BC$. Siano inoltre $J_b$ e $J_c$ gli incentri dei triangoli $ABD$ e $ACD$ rispettivamente. Dimostrare che il circocentro di $AJ_bJ_c$ sta sulla bisettrice di $\widehat{BAC}$.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

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Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

Linda_
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Re: Si lavora con gli incentri

Messaggio da Linda_ » 25 lug 2017, 23:04

Testo nascosto:
Lemma: Dato un quadrilatero $ABCD$ con $I$ e $J$ incentri rispettivamente di $\triangle ABC$ e $\triangle ADB$, questo è circoscrivibile se e solo se $IJ\bot AC$.
Dimostrazione: Siano $E,F$ le proiezioni su $AC$ rispettivamente di $I$ e $J$.
Sicuramente $IJ\bot AC$ se e solo se $E\equiv F$: infatti le proiezioni di $I,J$ su $AC$ devono coincidere con $IJ\cap AC$ per l'unicità della perpendicolare per un punto ad una retta. Dunuque se e solo se $E\equiv F$ vale $AE=AF$, e guardando l'inscritta a $\triangle ABC$ e i segmenti di tangenza a lei condotti si ha che $2AE=AB+CA-BC$; analogamente, guardando l'inscritta a $\triangle ACD$ vale che $2AF=AC+DA-CD$.
\begin{align*}
IJ\bot AC &\Leftrightarrow AE=AF\\
& \Leftrightarrow AB+CA-BC=CA+AD-CD\\
& \Leftrightarrow AB+CD=AD+BC
\end{align*}
che è la condizione di circoscrivibilità di $ABCD$.


Passiamo al problema. Per il lemma, considerando il quadrilatero degenere $ABCD$, vale che $J_bJ_c\bot AD$, dunque $AD$ è altezza relativa a $J_bJ_c$ guardando il triangolo $\triangle AJ_bJ_c$.
Sia $I$ l'incentro di $\triangle ABC$ e sia $O$ il circocentro di $\triangle AJ_bJ_c$.
Noi sappiamo che in un triangolo ortocentro e circocentro sono coniugati isogonali; dato che l'ortocentro di $\triangle AJ_bJ_c$ sta su $AD$, guardando $\triangle AJ_bJ_c$ abbiamo che $\angle J_bAO=\angle DAJ_c$.
\begin{align*}
\angle BAO &= \angle BAJ_b + \angle J_bAO \\
&= \angle BAJ_b + \angle DAJ_c \\
&= \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle DAC\\
&= \frac{1}{2}\angle BAC
\end{align*}
da cui $O\in AI$.
Da dove viene?
"Dev'essere terribile!" "Sì, anche per me è davvero fantastico!"

Gerald Lambeau
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Re: Si lavora con gli incentri

Messaggio da Gerald Lambeau » 26 lug 2017, 00:01

RMM 2015 - 4. Giusta!
La perpendicolarità di $AD$ con la retta $J_bJ_c$ si poteva fare anche senza quel Lemma, ma è ganzo come tu l'abbia usato sul caso degenere (io stavo per applicarlo al contrario, giungendo alla strabiliante conclusione che il triangolo $ABC$ ammette una circonferenza inscritta :lol: ).

Per chi vuole concludere in un altro modo, dette $X$ e $Y$ le altre intersezioni della circoscritta a $AJ_bJ_c$ con $AB$ e $AC$ rispettivamente, si dimostra che $AJ_b \perp J_cX, AJ_c \perp J_bY$ e quindi i punti $AJ_b \cap J_cX$ e $AJ_c \cap J_b Y$ stanno sulla circonferenza di diametro $J_bJ_c$, e da questo si trova facilmente che $AX=AY$ da qui ovviamente la tesi.
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