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Sia $ABC$ un triangolo con incentro $I$. Sia $D$ un punto di $BC$ e siano $\omega_B,\omega_C$ gli incerchi di $ABD,ACD$, rispettivamente tangenti a $BC$ in $E$ e $F$. Siano $O_B, O_C$ i centri di $\omega_B,\omega_C$. Sia $P$ l'intersezione di $AD$ e $O_BO_C$. Siano $X = BI\cap CP$ e $Y = BP\cap CI$.

Dimostrare che $EX$ e $FY$ concorrono sull'inscritta di $ABC$.

Fonte: USA TSTST 2017, 5

Hai dunque deciso di rivalutare queste fonti capitaliste?

Federico II ha scritto: ↑06 lug 2017, 23:01 Hai dunque deciso di rivalutare queste fonti capitaliste?

Sai com'è, dopo aver sconfitto tale problema, ho voluto condividerlo con tutti...

Sia $\omega$ l'inscritta di $\triangle ABC$. $\omega$ tange $BC$ in $Z$ e sia $U$ il punto diametralmente opposto a $Z$ in $\omega$; dimostriamo che $EX$ e $FY$ concorrono in $U$.

Notiamo che:
$P$ è il centro di similitudine interna tra $\omega_B$ e $\omega_C$
$C$ è il centro di similitudine esterna tra $\omega_C$ e $\omega$

Allora per il teorema di Monge, il centro di similitudine interna tra $\omega$ e $\omega_B$ deve trovarsi su $CP$.
Tale punto si deve trovare però anche su $O_BI$, ovvero sulla congiungente dei centri di $\omega$ e $\omega_B$ e quindi deve essere $X$.

Consideriamo ora l'omotetia di fattore negativo centrata in $X$ che manda $\omega_B$ in $\omega$, essa manda $E$ in $U$ e quindi $E$, $X$ e $U$ sono allineati.

Analogamente si dimostra anche che $F$, $Y$ e $U$ sono allineati e quindi si ha la tesi.

Ovviamente giusta!